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Eshelby张量场的不可约结构及其对称性分析

本文翻译自：Q.-S. Zheng, Z.-H. Zhao, and D.-X. Du, “Irreducible structure, symmetry and average of Eshelby’s tensor fields in isotropic elasticity,” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 54, no. 2, pp. 368–383, Feb. 2006, doi: 10.1016/j.jmps.2005.08.012.

摘要

在无限大、均匀、各向同性的弹性介质中，区域 $\boldsymbol{\omega}$ 内的均匀本征应变 $\boldsymbol{\varepsilon}^0$ 所诱导的应变场 $\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{x})$ 与 $\boldsymbol{\varepsilon}^0$ 呈线性关系：

\varepsilon_{ij}(\mathbf{x}) = S_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) \varepsilon_{kl}^0

长期以来的一个猜想是：Eshelby张量场 $S^\omega(\mathbf{x})$ 在 $\omega$ 内部均匀的充要条件是 $\omega$ 为椭球形状。由于小指标对称性 $S_{ijkl}^\omega = S_{ijlk}^\omega = S_{jikl}^\omega$ ， $S^\omega$ 在三维和二维情况下分别最多具有36个和9个独立分量。

本文通过对 $S^\omega$ 进行不可约分解证明： $S^\omega$ 的各向同性部分 $\mathbf{S}$ 在 $\omega$ 外为零，在 $\omega$ 内均匀且取值与三维球域或二维圆域对应的Eshelby张量 $\mathbf{S}^0$ 相同。进一步地，我们证明 $S^\omega$ 的各向异性部分 $\mathbf{A}^\omega = S^\omega - \mathbf{S}$ 由一个二阶和一个四阶偏张量表征，因此最多具有14个（三维）或4个（二维）独立分量，这些分量可作为 $\omega$ 几何形状的特征。值得注意的是， $S^\omega$ 的上述不可约结构与 $\omega$ 的几何形状无关（例如形状、取向、连通性、凸性、边界光滑性等）。

这一有趣的结论可解释近期的若干研究结果，例如：对于二维 $\mathscr{C}_n(n\ge3,n\neq4)$ 对称区域或三维二十面体区域 $\omega$ ， $S^\omega$ 在区域中心处的值以及在该区域上的平均值均等于 $\mathbf{S}^0$ 。

关键词：埃舍尔比问题；各向异性；弹性材料；微观结构；微观力学

引言

在一篇极具影响力的论文中，Eshelby (1957) 证明：对于二维椭圆或三维椭球区域 $\boldsymbol{\omega}$ ，Eshelby张量场 $S^\omega(\mathbf{x})$ 在 $\omega$ 内部是均匀的。这一引人注目的性质被称为Eshelby均匀性，在基体-夹杂复合材料力学中发挥着关键作用；Eshelby (1961) 进一步猜想，该性质对于任何其他形状的区域都不成立。

自Mura等人 (1994) 的研究以来，学界对Eshelby猜想的关注度显著提升——他们在研究中指出，某些五角星形区域可能打破这一猜想（另见Mura, 1997）。不过很快，后续研究证明：

对于含角点的区域（Rodin, 1996）
含平面段表面的区域（Markenscoff, 1997）
由高于二次的多项式曲面、非凸曲面或两种及以上不同曲面的片段所围成的区域（Lubarda and Markenscoff, 1998）

Eshelby均匀性均不成立。Markenscoff (1998) 还指出，若要通过无穷小扰动保持椭球夹杂的Eshelby均匀性，唯一可行的扰动是将椭球变换为另一椭球。

另一方面，Nozaki与Taya (1997) 通过数值分析发现：对于二维凸正多边形区域 $\boldsymbol{\omega}$ ， $S^\omega$ 在 $\omega$ 中心处的值与在 $\omega$ 上的平均值，均等于圆形区域的Eshelby张量。Kawashita与Nozaki (2001) 随后对这些性质进行了解析证明。

对于自然数 $n$ ，若二维区域 $\omega$ 的几何形状绕其重心旋转 $2\pi/n$ 角度后保持不变，则称 $\omega$ 为 $\boldsymbol{\mathscr{C}_n}$ 对称区域。特别地，正多边形属于 $\mathscr{C}_n$ 对称区域。图1展示了若干 $\mathscr{C}_5$ 对称区域的示例。Franciosi (2005) 利用拉东变换证明：对于任意边界光滑的 $\mathscr{C}_n(n\ge3,n\neq4)$ 对称二维区域 $\omega$ 或二十面体三维区域 $\omega$ ， $S^\omega$ 在 $\omega$ 重心处的值与在 $\omega$ 上的平均值，均等于二维圆形或三维球形区域的Eshelby张量。

C₅对称域的示例

图1： $C_{5}$ 对称域的示例，其中简单连通域为 (a)，多连通域为 (b 和 c)，分离域为 (d)。域 (a、c 和 d) 也在五个反射变换下保持不变，而域 (b) 则不保持不变。

由于 $\mathbf{S}^\omega$ 具有小指标对称性，其在三维和二维情况下分别最多包含36个和9个独立分量。然而，基于 $\mathbf{S}^\omega$ 的不可约分解，我们证明： $\mathbf{S}^\omega$ 的各向同性部分（记为 $\mathbf{S}$ ）在区域 $\omega$ 外为零，在 $\omega$ 内均匀且取值与三维球域或二维圆域对应的Eshelby张量（记为 $\mathbf{S}^0$ ）完全相同。

进一步地，我们发现并从理论上证明： $\mathbf{S}^\omega$ 的各向异性部分 $\mathbf{A}^\omega = \mathbf{S}^\omega - \mathbf{S}$ 由一个二阶偏张量和一个四阶偏张量表征，且与材料属性无关，因此在三维和二维情况下分别最多具有14个和4个独立分量，可作为区域 $\omega$ 几何形状的特征。

值得注意的是， $\mathbf{S}^\omega$ 的上述不可约结构对任意区域 $\omega$ 均成立，无论 $\omega$ 是单连通还是多连通、凸还是非凸、边界是否光滑，甚至当 $\omega$ 是多个分离子域 $\omega_m$ （ $m=1,2,3,\dots$ ）的并集时依然成立。所有子域 $\omega_m$ 内部 $\mathbf{S}^\omega(\mathbf{x})$ 的各向同性部分完全相同这一结论，令人意外且极具吸引力。

对于 $\boldsymbol{\mathscr{C}_n(n\ge3,n\neq4)}$ 对称的二维区域 $\omega$ ，以及 $\omega$ 内任意 $n$ 个 $\mathscr{C}_n$ 对称分布的点构成的集合 $\{\mathbf{x}_i\}$ ，我们进一步证明：若 $\omega$ 的重心 $0$ 位于 $\omega$ 内部，则 $\mathbf{S}^\omega$ 在重心处的值，或平均值

\bar{\mathbf{S}}^\omega = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{S}^\omega(\mathbf{x}_i)

恒等于 $\mathbf{S}^0$ ，且对 $\omega$ 无额外限制。这一结论推广了Nozaki与Taya（1997）、Kawashita与Nozaki（2001）以及Franciosi（2005）的所有相似结果。

我们还发现， $\mathbf{S}^\omega(0) = \bar{\mathbf{S}}^\omega = \mathbf{S}^0$ 的结论对大量空间对称的三维区域（尤其是二十面体区域）同样成立。需要指出的是，Wang与Xu（2004）近期的工作仅针对正多边形，通过复杂且特定的推导得到 $\bar{\mathbf{S}}^\omega = \mathbf{S}^0$ ；相比之下，我们的所有结果不仅具有最广泛的普适性，且仅通过研究 $\mathbf{S}^\omega$ 的对称性即可简洁导出，无需求解 $\omega$ 内部的弹性场。

本文结构安排如下：

第2节总结Eshelby张量场 $\mathbf{S}^\omega$ 的核心关系及其不可约分解；
第3、4节分别建立二维和三维情况下 $\mathbf{S}^\omega$ 的不可约结构；
第5节研究Eshelby张量场的对称性；
第6节基于 $\mathbf{S}^\omega$ 的不可约结构与对称性，直接推导出 $\mathbf{S}^\omega(0) = \bar{\mathbf{S}}^\omega = \mathbf{S}^0$ 的普适结论；
第7节总结全文。

为保证内容自洽，附录A补充了三维不可约张量的基本性质。

埃什尔比张量场的要素及其不可约分解

无限大均匀弹性介质中，由本征应变场 $\varepsilon^*(\mathbf{x})$ 诱导的扰动应变场 $\varepsilon_{ij}(\mathbf{x})$ 可表示为 $\varepsilon^*$ 的线性函数，形式如下（参见 Mura, 1987）：

\varepsilon_{ij}(\mathbf{x}) = -\frac{C^{mnkl}}{2} \int \varepsilon_{kl}^*(\mathbf{y}) \left[ G_{im,nj}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) + G_{jm,ni}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) \right] \mathrm{d}\mathbf{y},

其中 $C_{ijkl}(=C_{jikl}=C_{klij})$ 为弹性刚度张量， $G_{ij}(=G_{ji})$ 为格林函数。本文中，张量分量在笛卡尔坐标系下定义，对重复指标采用爱因斯坦求和约定，下标 $()_{,i}$ 表示对 $y_i$ 的偏导数 $\partial()/\partial y_i$ 。

我们特别关注Eshelby问题：此时本征应变 $\varepsilon^*$ 在区域 $\omega$ 内均匀分布，在 $\omega$ 外为零，即 $\varepsilon^*(\mathbf{x}) = \varepsilon^0 \chi^\omega(\mathbf{x})$ ，其中 $\varepsilon^0$ 为某一应变型张量， $\chi^\omega(\mathbf{x})$ 为区域 $\omega$ 的特征函数：

\chi^\omega(\mathbf{x}) = \begin{cases} 1 & \text{inside } \omega, \\ 0 & \text{outside } \omega. \end{cases}

在这种情况下，我们可将式(2)改写为 $\varepsilon_{ij}(\mathbf{x}) = S_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) \varepsilon_{kl}^0$ 的形式，该式由区域 $\omega$ 对应的Eshelby张量场 $\mathbf{S}^\omega(\mathbf{x})$ 表征：

S_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{C^{mnkl}}{2} \int_\omega \left[ G_{im,nj}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) + G_{jm,ni}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) \right] \mathrm{d}\mathbf{y}. \tag{4}

此后，我们的讨论将限定于各向同性介质。代入各向同性弹性刚度张量：

C_{jkmn} = \lambda \delta_{jk} \delta_{mn} + \mu \left( \delta_{jm} \delta_{kn} + \delta_{jn} \delta_{km} \right) \tag{5}

到式(4)中，可得

\mathbf{S}^\omega(\mathbf{x}) = \int_\omega \boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) \mathrm{d}\mathbf{y}, \tag{6}

其中

\Gamma_{ijkl}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) = -\frac12 \left[ \lambda \left( G_{im,mj} + G_{jm,mi} \right) \delta_{kl} + \mu \left( G_{ik,jl} + G_{il,jk} + G_{jk,il} + G_{jl,ik} \right) \right], \tag{7}

$\delta_{ij}$ 为克罗内克δ符号， $\mu$ 为剪切模量， $\lambda$ 为拉梅常数，其与 $\mu$ 和泊松比 $v$ 的关系为 $\lambda = 2\mu v/(1-2v)$ 。为不失一般性，本文中二维弹性设定为平面应变弹性，因此式(5)和(7)在三维与二维下具有统一形式。

格林函数的表达式为：

二维情况

G_{ij}(\mathbf{z}) = \frac{1}{8\pi\mu(1-v)} \left[ (3-4v)\delta_{ij} \ln\frac{1}{|\mathbf{z}|} + \frac{z_i z_j}{|\mathbf{z}|^2} \right] \tag{8}

三维情况

G_{ij}(\mathbf{z}) = \frac{1}{16\pi\mu(1-v)} \left[ (3-4v) \frac{\delta_{ij}}{|\mathbf{z}|} + \frac{z_i z_j}{|\mathbf{z}|^3} \right] \tag{9}

其中 $\mathbf{z} = \mathbf{y} - \mathbf{x}$ ，且 $|\mathbf{z}| = \sqrt{z_i z_i}$ 。

对于 $n\ge2$ 阶张量 $D_{i_1\cdots i_n}$ ，若其分量满足完全对称且无迹条件，则称其为偏张量（deviatoric tensor）：

D_{i_1\cdots i_r\cdots i_s\cdots i_n} = D_{i_1\cdots i_s\cdots i_r\cdots i_n},\quad \delta_{i_r i_s} D_{i_1\cdots i_r\cdots i_s\cdots i_n} = 0 \quad (\text{对任意 } 1\le r<s\le n). \tag{10}

我们近期的两篇论文（Zheng and Zou, 2000; Zou et al., 2001）系统介绍了偏张量及张量不可约分解的相关背景。 $\mathbf{S}^\omega$ 的不可约分解形式为（Zou et al., 2001）：

\mathbf{S}^\omega = \mathbf{S} + \mathbf{A}^\omega, \tag{11}

其中各向同性部分的分量为

S_{ijkl} = \alpha \delta_{ij} \delta_{kl} + \beta \left( \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} \right), \tag{12}

二维情况下各向异性部分的分量为

A_{ijkl}^\omega = \eta \left( \delta_{ik} \epsilon_{jl} + \delta_{il} \epsilon_{jk} + \epsilon_{ik} \delta_{jl} + \epsilon_{il} \delta_{jk} \right) + \delta_{ij} d_{kl}^{(1)} + \delta_{kl} d_{ij}^{(2)} + D_{ijkl}^\omega, \tag{13}

三维情况下各向异性部分的分量为

\begin{aligned} A_{ijkl}^\omega &= h_s \left( \delta_{ki} \epsilon_{jls} + \delta_{kj} \epsilon_{ils} + \delta_{li} \epsilon_{jks} + \delta_{lj} \epsilon_{iks} \right) + \left( \epsilon_{sik} H_{ljs} + \epsilon_{sil} H_{kjs} + \epsilon_{sjk} H_{lis} + \epsilon_{sjl} H_{kis} \right) \\ &\quad + \delta_{ij} d_{kl}^{(1)} + \delta_{kl} d_{ij}^{(2)} + \left( \delta_{ik} d_{lj}^{(3)} + \delta_{il} d_{kj}^{(3)} + \delta_{jk} d_{li}^{(3)} + \delta_{jl} d_{ki}^{(3)} \right) + D_{ijkl}^\omega. \end{aligned} \tag{14}

在上述分解中， $\mathbf{h}$ 为矢量， $\boldsymbol{\epsilon}$ 为置换张量， $\mathbf{d}$ 、 $\mathbf{H}$ 和 $\mathbf{D}$ 分别为二阶、三阶和四阶偏张量。

若二阶张量 $\mathbf{Q}$ 的逆 $\mathbf{Q}^{-1}$ 存在且等于其转置 $\mathbf{Q}^\mathrm{T}$ ，则称 $\mathbf{Q}$ 为正交张量。刚体转动与行列式为1的正交张量（称为转动张量）一一对应。若 $n$ 阶张量 $\mathbf{T}$ 在正交张量 $\mathbf{Q}$ 作用下保持不变，则称 $\mathbf{Q}$ 为 $\mathbf{T}$ 的对称变换：

\mathbf{Q}^{\times n}\mathbf{T} = \mathbf{T} \quad \text{或} \quad Q_{i_1j_1} Q_{i_2j_2} \dots Q_{i_nj_n} T_{j_1j_2\dots j_n} = T_{i_1i_2\dots i_n}. \tag{15}

$\mathbf{T}$ 的所有对称变换构成完全正交张量群的一个子群，称为 $\mathbf{T}$ 的对称群。若 $\mathbf{T}$ 的对称群等于完全正交张量群，则称 $\mathbf{T}$ 为各向同性张量；否则称为各向异性张量。一种特殊的各向异性是半各向同性（hemitropy），其对应转动张量群（所有转动张量的集合）。例如，克罗内克δ $\delta_{ij}$ 是各向同性的，二维置换张量 $\varepsilon_{ij}$ 或三维置换张量 $\varepsilon_{ijk}$ 是半各向同性的，且任何各向同性张量都是克罗内克δ张量积的线性组合。

由此，从式(12)至(14)可见： $\mathbf{S}$ 为各向同性张量，式(13)右端第一项为半各向同性张量， $\mathbf{A}^\omega$ 为各向异性张量；且 $\mathbf{S}$ 是 $\mathbf{S}^\omega$ 的各向同性部分，这体现为 $\mathbf{S}$ 与 $\mathbf{A}^\omega$ 正交：

S_{ijkl} A_{ijkl}^\omega = 0.

下面给出二维偏张量的若干基本性质，对应的三维性质见附录A。设 $\mathbf{e}_1$ 与 $\mathbf{e}_2$ 为两个正交单位向量，记单位虚数 $\sqrt{-1}$ 为 $\imath$ ，并引入复向量 $\mathbf{w} = \mathbf{e}_1 + \imath\mathbf{e}_2$ 。对于任意整数 $n(n\ge2)$ ， $n$ 阶复张量

\mathbf{w}^{\times n} \quad \text{或} \quad w_{i_1} w_{i_2} \dots w_{i_n} \tag{16}

显然是完全对称的。由 $w_i w_i = 0$ 这一简单事实可知， $\mathbf{w}^{\times n}$ 也是无迹的。因此， $\mathbf{w}^{\times n}$ 及其实部 $\mathbf{P}_n$ 、虚部 $\mathbf{Q}_n$ 均为偏张量。以下两个基本性质（Zheng, 1993; Zheng and Zou, 2000）尤为实用：

任意 $n$ 阶二维偏张量 $\mathbf{D}$ 均可表示为 $\mathbf{P}_n$ 与 $\mathbf{Q}_n$ 的线性组合：

\mathbf{D} = D_1 \mathbf{P}_n + D_2 \mathbf{Q}_n, \tag{17}

其中 $D_1$ 与 $D_2$ 为 $\mathbf{D}$ 的独立分量。

当角度为 $\theta$ 的转动 $\mathbf{R}$ 作用时，具有如下变换性质：

\begin{aligned} \mathbf{e}_1 &\to \mathbf{R}\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_1 \cos\theta - \mathbf{e}_2 \sin\theta, \\ \mathbf{e}_2 &\to \mathbf{R}\mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_1 \sin\theta + \mathbf{e}_2 \cos\theta, \end{aligned} \tag{18}

\begin{aligned} \mathbf{P}_n &\to \mathbf{R}^{\times n}\mathbf{P}_n = \mathbf{P}_n \cos n\theta - \mathbf{Q}_n \sin n\theta, \\ \mathbf{Q}_n &\to \mathbf{R}^{\times n}\mathbf{Q}_n = \mathbf{P}_n \sin n\theta + \mathbf{Q}_n \cos n\theta. \end{aligned} \tag{19}

由此可知，二维 $\mathbf{S}^\omega$ 的不可约表示（11）–（13）包含9个参数，即 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\eta$ ，以及 $\mathbf{d}^{(1)}$ 、 $\mathbf{d}^{(2)}$ 、 $\mathbf{D}^\omega$ 各含2个参数。在三维情况下，已知（附录A）一般 $n$ 阶偏张量具有 $(2n+1)$ 个独立分量。因此，三维 $\mathbf{S}^\omega$ 的不可约表示（11）、（12）和（14）包含36个参数。

一个简单但普遍且重要的性质是，任何非零偏应变张量都不是各向同性的，甚至不是半各向同性的。

二维中埃什尔比场的不可约结构

从式(11)至(13)，我们可直接得到以下关系：

\begin{aligned} S_{ijkk}^\omega &= 2(\alpha + \beta)\delta_{ij} + 2d_{ij}^{(2)}, \\ S_{kkij}^\omega &= 2(\alpha + \beta)\delta_{ij} + 2d_{ij}^{(1)}, \\ S_{ikjk}^\omega &= (\alpha + 3\beta)\delta_{ij} + 4\eta\epsilon_{ij} + d_{ij}^{(1)} + d_{ij}^{(2)}, \end{aligned} \tag{20}

以及由此导出的关系：

S_{iikk}^\omega = 4(\alpha + \beta),\quad S_{ikik}^\omega = 2(\alpha + 3\beta),\quad \epsilon_{ij}S_{ikjk}^\omega = 8\eta. \tag{21}

从式(7)，我们可得

\begin{aligned} S_{ijkk}^\omega(\mathbf{x}) &= -(\lambda + \mu) \int_\omega \left( G_{ik,jk} + G_{jk,ik} \right) \mathrm{d}\mathbf{y}, \\ S_{kkij}^\omega(\mathbf{x}) &= - \int_\omega \left[ \lambda G_{kl,kl} \delta_{ij} + \mu \left( G_{ik,jk} + G_{jk,ik} \right) \right] \mathrm{d}\mathbf{y}, \\ S_{ikjk}^\omega(\mathbf{x}) &= -\frac12 \int_\omega \left[ (\lambda + \mu)\left( G_{ik,jk} + G_{jk,ik} \right) + \mu \left( G_{ij,kk} + G_{kk,ij} \right) \right] \mathrm{d}\mathbf{y}. \end{aligned} \tag{22}

观察式(22) $_3$ 给出的 $S_{ikjk}^\omega = S_{jikj}^\omega$ ，结合 $\epsilon_{ij} = -\epsilon_{ji}$ 这一基本性质，可直接得到第一个普适结论：在整个介质中 $\eta \equiv 0$ ，且该结论对任意区域 $\omega$ 均成立。

由式(8)可得

G_{ik,k} = \frac{1-2v}{4\pi\mu(1-v)} \left( \ln\frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|} \right)_{,i},\quad G_{kk,i} = \frac{3-4v}{4\pi\mu(1-v)} \left( \ln\frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|} \right)_{,i}. \tag{23}

将式(23)代入式(22)得到

S_{ikik}^\omega = 2\chi_{kk}^\omega,\quad S_{ijkk}^\omega = \frac{1}{1-v}\chi_{ij}^\omega,\quad S_{kkij}^\omega = \frac{v}{1-v}\chi_{kk}^\omega\delta_{ij} + \frac{1-2v}{1-v}\chi_{ij}^\omega, \tag{24}

其中

\chi_{ij}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{1}{2\pi} \int_\omega \left( \ln\frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|} \right)_{,ij} \mathrm{d}\mathbf{y}. \tag{25}

由于 $\ln(1/|\mathbf{y}-\mathbf{x}|)$ 对任意 $\mathbf{y}\neq\mathbf{x}$ 都是调和函数（即 $\ln(1/|\mathbf{y}-\mathbf{x}|)_{,kk}=0$ ），因此 $\chi_{kk}^\omega(\mathbf{x})$ 在 $\omega$ 外为零。若 $\mathbf{x}$ 是 $\omega$ 的内点，则可选取以 $\mathbf{x}$ 为中心、半径 $\varepsilon>0$ 的圆形邻域 $\omega_\varepsilon$ ，使得 $\omega_\varepsilon \subset \omega$ 。利用高斯定理可得

\chi_{kk}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{1}{2\pi} \int_{\partial\omega_\varepsilon} \left( \ln\frac{1}{|\mathbf{z}|} \right)_{,k} \frac{z_k}{|\mathbf{z}|} \mathrm{d}\Gamma = \frac{1}{2\pi} \int_{\partial\omega_\varepsilon} \frac{1}{|\mathbf{z}|} \mathrm{d}\Gamma = 1, \tag{26}

其中边界 $\partial\omega_\varepsilon$ 上的 $z_k/|\mathbf{z}|$ 是外法向单位向量， $\mathrm{d}\Gamma$ 为边界微元。因此， $\chi_{kk}^\omega(\mathbf{x})$ 等于区域 $\omega$ 的特征函数： $\chi_{kk}^\omega(\mathbf{x}) = \chi^\omega(\mathbf{x})$ 。因此，由式(24)与(21)可得

S_{ikik}^\omega = 2\chi^\omega,\quad S_{iikk}^\omega = \frac{1}{1-v}\chi^\omega, \tag{27}

\alpha = \frac{4v-1}{8(1-v)}\chi^\omega,\quad \beta = \frac{3-4v}{8(1-v)}\chi^\omega. \tag{28}

Rodin（1996）也得到了与式(27)相同的结果，但该结果仅适用于多边形区域 $\omega$ 。

接下来我们讨论二阶导数张量。对于任意张量 $\mathbf{T}$ ，我们用 $\lfloor\mathbf{T}\rfloor$ 表示其偏张量部分。引入与材料无关的导数张量 $\mathbf{d}^\omega(\mathbf{x}) = \lfloor\chi^\omega\rfloor$ ，即

d_{ij}^\omega(\mathbf{x}) = \chi_{ij}^\omega(\mathbf{x}) - \frac12 \chi^\omega \delta_{ij}, \tag{29}

由式(20) $_{1,2}$ 与(24) $_{2,3}$ ，我们可直接得到以下表达式：

d_{ij}^{(1)} = \frac{1-2v}{2(1-v)} d_{ij}^\omega,\quad d_{ij}^{(2)} = \frac{1}{2(1-v)} d_{ij}^\omega. \tag{30}

因此， $d_{ij}^{(1)}$ 与 $d_{ij}^{(2)}$ 中仅有一个是独立的。

最后，利用含克罗内克δ的张量其偏张量部分为零这一性质，并将式(13)中的 $\mathbf{D}^\omega$ 替换为 $\mathbf{D}^\omega/(1-v)$ ，我们可直接得到以下与材料无关的等价表达式：

\mathbf{D}^\omega = \lfloor\boldsymbol{\Xi}^\omega\rfloor = \lfloor\boldsymbol{\Theta}^\omega\rfloor, \tag{31}

其中

\Xi_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi} \int_\omega z_i \left( \ln\frac{1}{|\mathbf{z}|} \right)_{,jkl} \mathrm{d}\mathbf{y}, \tag{32}

\Theta_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{2}{\pi} \int_\omega \frac{z_i z_j z_k z_l}{|\mathbf{z}|^6} \mathrm{d}\mathbf{y}. \tag{33}

我们现在可以给出如下定理。

定理 1. 在二维各向同性弹性力学中，任意区域 $\boldsymbol{\omega}$ 对应的Eshelby张量场 $\mathbf{S}^\omega$ 的各向同性部分 $\mathbf{S}$ 在 $\omega$ 外为零，在 $\omega$ 内均匀且取值与圆形区域的Eshelby张量 $\mathbf{S}^0$ 相同，即

\mathbf{S}(\mathbf{x}) = \mathbf{S}^0 \chi^\omega(\mathbf{x}) \tag{34}

其中

S_{ijkl}^0 = \frac{4v-1}{8(1-v)} \delta_{ij} \delta_{kl} + \frac{3-4v}{8(1-v)} \left( \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} \right); \tag{35}

各向异性部分 $\mathbf{A}^\omega = \mathbf{S}^\omega - \mathbf{S}$ 由两个与材料无关的偏张量场 $\mathbf{d}^\omega$ 和 $\mathbf{D}^\omega$ 完全表征，形式为

A_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{1-2v}{2(1-v)} \delta_{ij} d_{kl}^\omega(\mathbf{x}) + \frac{1}{2(1-v)} \delta_{kl} d_{ij}^\omega(\mathbf{x}) + \frac{1}{1-v} D_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}), \tag{36}

因此一般情况下仅包含4个独立分量。

区域 $\omega$ 内由均匀本征应变 $\varepsilon^0 \chi^\omega$ 诱导的应力场可表示为 $\boldsymbol{\sigma} = \mathbf{C}(\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\varepsilon}^0) = -\boldsymbol{\Omega}^\omega \boldsymbol{\varepsilon}^0$ ，其中

\boldsymbol{\Omega}^\omega(\mathbf{x}) = \mathbf{C} - \mathbf{C}\mathbf{S}^\omega(\mathbf{x}) \quad \text{或} \quad \Omega_{ijkl}^\omega = C_{ijkl} - C_{ijmn} S_{mnkl}^\omega \tag{37}

该张量场被称为本征刚度张量场，因为它与弹性刚度张量 $\mathbf{C}$ 具有相同的指标对称性（ $\Omega_{ijkl}^\omega = \Omega_{jikl}^\omega = \Omega_{klij}^\omega$ ）和物理量纲。

在夹杂-基体型复合材料的各类细观力学模型中，起直接关键作用的并非 $\mathbf{S}^\omega$ ，而是 $\boldsymbol{\Omega}^\omega$ （参见Zheng and Du, 2001）。因此，值得给出 $\boldsymbol{\Omega}^\omega$ 对应的不可约结构，该结构可由式(5)、(35)和(36)直接推导得到：

\frac{1-v}{2\mu} \Omega_{ijkl}^\omega = \frac{1}{8} \left( \delta_{ij} \delta_{kl} + \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} \right) - \frac{1}{2} \left( \delta_{ij} d_{kl}^\omega + d_{ij}^\omega \delta_{kl} \right) - D_{ijkl}^\omega. \tag{38}

值得注意的是，经 $(1-v)/2\mu$ 归一化后的 $\boldsymbol{\Omega}^\omega$ 与材料无关。

最后需要说明：上述不可约表示(35)–(37)是针对平面应变问题建立的。对于平面应力问题，只需将 $v$ 替换为 $v/(1+v)$ ，即可由(35)–(37)直接得到对应结果。

三维艾什尔比场的不可约结构

三维Eshelby张量场的不可约结构可通过与二维相似的过程建立。由式(11,12,14)，我们得到以下关系：

\begin{aligned} S_{ijkk}^\omega &= (3\alpha + 2\beta)\delta_{ij} + 3d_{ij}^{(2)} + 4d_{ij}^{(3)}, \\ S_{kkij}^\omega &= (3\alpha + 2\beta)\delta_{ij} + 3d_{ij}^{(1)} + 4d_{ij}^{(3)}, \\ S_{ikjk}^\omega &= (\alpha + 4\beta)\delta_{ij} + 5\epsilon_{ijs}h_s + d_{ij}^{(1)} + d_{ij}^{(2)} + 5d_{ij}^{(3)}, \end{aligned} \tag{39}

进而得到：

S_{iikk}^\omega = 3(3\alpha + 2\beta),\quad S_{ikik}^\omega = 3(\alpha + 4\beta),\quad \epsilon_{ijs}S_{ikjk}^\omega = 10h_s. \tag{40}

由式(7)，我们可得

\begin{aligned} S_{ijkk}^\omega(\mathbf{x}) &= -\frac12 (3\lambda + 2\mu) \int_\omega \left( G_{ik,jk} + G_{jk,ik} \right) \mathrm{d}\mathbf{y}, \\ S_{kkij}^\omega(\mathbf{x}) &= -\frac12 \int_\omega \left[ \lambda G_{kl,kl} \delta_{ij} + \mu \left( G_{ik,jk} + G_{jk,ik} \right) \right] \mathrm{d}\mathbf{y}, \\ S_{ikjk}^\omega(\mathbf{x}) &= -\frac12 \int_\omega \left[ (\lambda + \mu)\left( G_{ik,jk} + G_{jk,ik} \right) + \mu \left( G_{ij,kk} + G_{kk,ij} \right) \right] \mathrm{d}\mathbf{y}. \end{aligned} \tag{41}

观察式(41) $_3$ 给出的 $S_{ikjk}^\omega = S_{jikj}^\omega$ ，结合置换张量的反对称性，可直接得到第一个普适结论：对任意区域 $\omega$ ， $h_s \equiv 0$ 。

由式(11)、(12)和(14)，我们进一步得到如下关系：

4H_{jlm} + d_{lk}^{(1)}\epsilon_{jkm} + d_{jk}^{(2)}\epsilon_{klm} + \frac12 \left( d_{kl}^{(3)}\epsilon_{jkm} - d_{kj}^{(3)}\epsilon_{kkm} \right) + (\alpha - \beta)\epsilon_{jlm} = S_{ijkl}^\omega \epsilon_{ikm}. \tag{42}

因此， $4H_{jlm}$ 等于 $S_{ijkl}^\omega \epsilon_{ikm}$ 的完全对称化结果。然而，由式(7)可得

-2S_{ijkl}^\omega \epsilon_{ikm} = \int_\omega \left[ \lambda \left( G_{im,nj} + G_{jm,ni} \right) \epsilon_{ilm} + \mu \left( G_{li,jk} + G_{jk,li} \right) \epsilon_{ikm} \right] \mathrm{d}\mathbf{y}. \tag{43}

式(43)右端第一项对指标对 $(lm)$ 是反对称的，因此对 $(lm)$ 进行对称化后该项为零；对指标对 $(jl)$ 对称化后，第二项也自动为零。因此， $S_{ijkl}^\omega \epsilon_{ikm}$ 的完全对称化结果为零，由此得到第二个普适结论：对任意区域 $\omega$ ， $H_{jlm} \equiv 0$ 。

由式(9)可得

G_{ik,k} = \frac{1-2v}{8\pi\mu(1-v)} \left( \frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|} \right)_{,i},\quad G_{kk,i} = \frac{5-6v}{8\pi\mu(1-v)} \left( \frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|} \right)_{,i}. \tag{44}

利用式(44)，由式(41)可得以下结果：

S_{ikjk}^\omega(\mathbf{x}) = 3\chi_{ij}^\omega,\quad S_{ijkk}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{1+v}{1-v}\chi_{ij}^\omega,\quad S_{kkij}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{v}{1-v}\chi_{kk}^\omega\delta_{ij} + \frac{1-2v}{1-v}\chi_{ij}^\omega, \tag{45}

其中

\chi_{ij}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{1}{8\pi} \int_\omega \left( \frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|} \right)_{,ij} \mathrm{d}\mathbf{y}. \tag{46}

与二维情况类似，利用 $\frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|}$ 在任意 $\mathbf{y}\neq\mathbf{x}$ 处的调和性质（即 $(1/|\mathbf{y}-\mathbf{x}|)_{,kk}=0$ ），可直接证明 $\chi_{kk}^\omega(\mathbf{x}) = \chi^\omega(\mathbf{x})$ 。因此，由式(40)与(45)可进一步得到

S_{ikik}^\omega = 3\chi^\omega,\quad S_{iikk}^\omega = \frac{1+v}{1-v}\chi^\omega, \tag{47}

\alpha = \frac{5v-1}{15(1-v)}\chi^\omega,\quad \beta = \frac{4-5v}{15(1-v)}\chi^\omega. \tag{48}

记 $\chi^\omega(\mathbf{x})$ 的偏张量部分为 $\mathbf{d}^\omega(\mathbf{x})$ ：

d_{ij}^\omega(\mathbf{x}) = \chi_{ij}^\omega(\mathbf{x}) - \frac13 \chi^\omega \delta_{ij}, \tag{49}

由式(20) $_{1,2}$ 与(24) $_{2,3}$ ，可直接得到

d_{ij}^{(1)} = -\frac{6v-7}{7(v-1)} d_{ij}^\omega,\quad d_{ij}^{(2)} = -\frac{13v-7}{7(v-1)} d_{ij}^\omega,\quad d_{ij}^{(3)} = \frac{8v-7}{7(v-1)} d_{ij}^\omega. \tag{50}

可见， $d_{ij}^{(1)}$ 、 $d_{ij}^{(2)}$ 与 $d_{ij}^{(3)}$ 中仅有一个是独立的。

将式(14)中的 $\mathbf{D}^\omega$ 替换为 $\mathbf{D}^\omega/(1-v)$ ，可直接得到以下与材料无关的等价表达式：

\mathbf{D}^\omega = \lfloor\boldsymbol{\Xi}^\omega\rfloor = \lfloor\boldsymbol{\Theta}^\omega\rfloor, \tag{51}

其中

\Xi_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{1}{8\pi} \int_\omega z_i \left( \frac{1}{|\mathbf{z}|} \right)_{,jkl} \mathrm{d}\mathbf{y}, \tag{52}

\Theta_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{15}{8\pi} \int_\omega \frac{z_i z_j z_k z_l}{|\mathbf{z}|^7} \mathrm{d}\mathbf{y}. \tag{53}

我们现在可以给出如下定理。

定理 2. 在三维各向同性弹性力学中，任意区域 $\boldsymbol{\omega}$ 对应的Eshelby张量场 $\mathbf{S}^\omega$ 的各向同性部分 $\mathbf{S}$ 在 $\omega$ 外为零，在 $\omega$ 内均匀且取值与球形区域的Eshelby张量 $\mathbf{S}^0$ 相同，即

\mathbf{S}(\mathbf{x}) = \mathbf{S}^0 \chi^\omega(\mathbf{x}) \tag{54}

其中

S_{ijkl}^0(\mathbf{x}) = \frac{-1+5v}{15(1-v)} \delta_{ij} \delta_{kl} + \frac{4-5v}{15(1-v)} \left( \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} \right), \tag{55}

各向异性部分 $\mathbf{A}^\omega = \mathbf{S}^\omega - \mathbf{S}$ 由两个与材料无关的偏张量场 $\mathbf{d}^\omega$ 和 $\mathbf{D}^\omega$ 完全表征，形式为

\begin{aligned} A_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) &= -\frac{7-6v}{7(1-v)} \delta_{ij} d_{kl}^\omega - \frac{7-13v}{7(1-v)} \delta_{kl} d_{ij}^\omega \\ &\quad + \frac{7-8v}{7(1-v)} \left( \delta_{ik} d_{lj}^\omega + \delta_{il} d_{kj}^\omega + \delta_{jk} d_{li}^\omega + \delta_{jl} d_{ki}^\omega \right) + \frac{1}{1-v} D_{ijkl}^\omega, \end{aligned} \tag{56}

因此一般情况下仅包含14个独立分量。

由上述结果，可直接推导出本征刚度张量场 $\boldsymbol{\Omega}^\omega = \mathbf{C} - \mathbf{C}\mathbf{S}^\omega$ 的表达式：

\begin{aligned} \frac{1-v}{2\mu} \Omega_{ijkl}^\omega &= \frac{1+5v}{15} \delta_{ij} \delta_{kl} + \frac{7-5v}{30} \left( \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} \right) + \left( 1 - \frac{13v}{7} \right) \left( \delta_{ij} d_{kl}^\omega + d_{ij}^\omega \delta_{kl} \right) \\ &\quad - \left( 1 - \frac{8v}{7} \right) \left( \delta_{ik} d_{lj}^\omega + \delta_{il} d_{kj}^\omega + \delta_{jk} d_{li}^\omega + \delta_{jl} d_{ki}^\omega \right) - D_{ijkl}^\omega. \end{aligned} \tag{57}

埃舍尔比张量场的对称性

设 $0$ 为区域 $\omega$ 的重心， $\{x_i\}$ 为以 $0$ 为原点的笛卡尔坐标系。若区域 $\omega$ 在正交张量 $\mathbf{Q}$ 作用下保持不变（即 $\mathbf{Q}\omega = \omega$ ），则称 $\mathbf{Q}$ 为 $\omega$ 的对称变换，即

Q_{ij}x_j \in \omega \quad \text{当且仅当} \quad x_i \in \omega. \tag{58}

$\omega$ 的所有对称变换构成的集合称为 $\omega$ 的对称群，记为 $G^\omega$ 。 $G^\omega$ 中所有转动张量构成的子群 $g^\omega$ ，称为 $\omega$ 的转动对称群。

由式(8)可知， $G_{ij}(\mathbf{z})$ 是关于向量变量 $\mathbf{z}$ 的各向同性二阶张量值函数，即满足如下形式不变性：

\mathbf{Q}^{\times 2}\mathbf{G}(\mathbf{z}) = \mathbf{G}(\mathbf{Q}\mathbf{z}) \quad \text{或} \quad Q_{im}Q_{jn}G_{mn}(z_k) = G_{ij}(Q_{kr}z_r) \tag{59}

对任意正交张量 $\mathbf{Q}$ 成立。由于求导是各向同性算子，式(6)中定义的 $\boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{z})$ 是关于 $\mathbf{z}$ 的各向同性四阶张量值函数，即满足如下形式不变性：

\mathbf{Q}^{\times 4}\boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{z}) = \boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{Q}\mathbf{z}) \quad \text{或} \quad Q_{im}Q_{jn}Q_{kr}Q_{ls}\Gamma_{mnrs}(z_u) = \Gamma_{ijkl}(Q_{tv}z_v) \tag{60}

对任意正交张量 $\mathbf{Q}$ ，我们有

\begin{aligned} \mathbf{S}^\omega(\mathbf{Q}\mathbf{x}) &= \int_\omega \boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{y} - \mathbf{Q}\mathbf{x}) \mathrm{d}\mathbf{y} \\ &= \int_\omega \boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^\mathrm{T}\mathbf{y} - \mathbf{Q}\mathbf{x}) \mathrm{d}\mathbf{y} \\ &= \int_{\mathbf{Q}^\mathrm{T}\omega} \mathbf{Q}^{\times 4}\boldsymbol{\Gamma}(\mathbf{y}' - \mathbf{x}) (\det\mathbf{Q}) \mathrm{d}\mathbf{y}', \end{aligned} \tag{61}

其中 $\mathbf{y}' = \mathbf{Q}^\mathrm{T}\mathbf{y}$ （即 $y_i' = Q_{ji}y_j$ ）对应正交坐标变换。特别地，对任意 $\mathbf{R} \in g^\omega$ ，由于 $\mathbf{R}^\mathrm{T}\omega = \omega$ 且 $\det\mathbf{R} = 1$ ，由式(61)可得

\mathbf{S}^\omega(\mathbf{R}\mathbf{x}) = \mathbf{R}^{\times 4}\mathbf{S}^\omega(\mathbf{x}) \quad \text{或} \quad S_{ijkl}^\omega(R_{uw}x_v) = R_{im}R_{jn}R_{kr}R_{ls}S_{mnrs}^\omega(x_u). \tag{62}

这表明，区域 $\boldsymbol{\omega}$ 的任意转动对称变换，也是四阶张量值函数 $\mathbf{S}^\omega(\mathbf{x})$ 的对称变换。

我们特别关注四阶张量 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 。此时，由式(62)可得

\mathbf{R}^{\times 4}\mathbf{S}^\omega(0) = \mathbf{S}^\omega(0) \quad \text{或} \quad R_{im}R_{jn}R_{kr}R_{ls}S_{mnrs}^\omega(0) = S_{ijkl}^\omega(0)

对所有 $\mathbf{R} \in g^\omega$ 成立，即 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 是 $g^\omega$ 不变的。基于不可约分解的正交性（参见Zou et al., 2001），这等价于

\mathbf{R}^{\times 2}\mathbf{d}^\omega(0) = \mathbf{d}^\omega(0) \quad \text{且} \quad \mathbf{R}^{\times 4}\mathbf{D}^\omega(0) = \mathbf{D}^\omega(0) \tag{64}

对所有 $\mathbf{R} \in g^\omega$ 成立。该结论对 $0$ 是否为 $\omega$ 的内点无任何限制。

在二维情况下，回顾式(19)可知：非零的 $\mathbf{d}^\omega(0)$ 或 $\mathbf{D}^\omega(0)$ 在转动下保持不变的充要条件是，转动角分别为 $\pi$ 或 $\pi/2$ 的整数倍。因此，对任意 $C_n(n\ge3,n\neq4)$ 对称区域 $\omega$ ， $\mathbf{d}^\omega(0)$ 与 $\mathbf{D}^\omega(0)$ 必须为零，从而得到

\mathbf{S}^\omega(0) = \mathbf{S}^0 \chi^\omega(0), \tag{65}

该式对任意 $C_n(n\ge3,n\neq4)$ 对称区域 $\omega$ 成立，且无额外限制。

Nozaki与Taya（1997）、Kawashita与Nozaki（2001）及Franciosi（2005）也得到了与式(65)相似的结果，但这些结果通常依赖于对Eshelby张量场 $\mathbf{S}^\omega$ 的复杂求解，并附加了诸多限制条件。Franciosi（2005）的结果仅要求 $\omega$ 的边界光滑且重心 $0$ 为 $\omega$ 的内点，而我们的结果则去除了这两项限制。特别地，若重心 $\mathbf{0}$ 是 $\omega$ 的外点，则 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 为零。

由于任意四阶偏张量是 $C_4$ 不变的，而任意二阶偏张量并非如此，我们得到 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 的一般表达式：

\mathbf{S}^\omega(0) = \mathbf{S}^0 \chi^\omega(0) + \frac{1}{1-v} \mathbf{D}^\omega(0) \tag{66}

该式对任意 $C_4$ 对称区域 $\omega$ 成立。

在三维情况下，若区域 $\boldsymbol{\omega}$ 关于某一方向（单位向量 $\mathbf{a}$ ）具有 $C_n(n\ge5)$ 对称性，则有（参见 Zheng and Boehler, 1994）

\mathbf{d}^\omega(0) = \eta_1 \lfloor \mathbf{a}^{\times 2} \rfloor,\quad \mathbf{D}^\omega(0) = \eta_2 \lfloor \mathbf{a}^{\times 4} \rfloor. \tag{67}

为保证内容自洽，附录A中也给出了该性质的证明。对应的 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 具有以 $\mathbf{a}$ 为优轴的横观各向同性 $D_{\infty h}$ ，即 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 在绕 $\mathbf{a}$ 的所有转动，以及对垂直或平行于 $\mathbf{a}$ 的平面的反射下保持不变，无论 $\omega$ 是否具有这些反射对称性。

进一步已知（参见 Zheng, 1994；或附录A），若一个四阶张量关于两个不共线的轴均为横观各向同性，则该张量必为各向同性。

特别地，若三维区域关于两个不共线的轴均具有 $C_n(n\ge5)$ 对称性，则称其为n次准球形区域。

图2展示了若干5次准球形区域的示例，正二十面体与正十二面体是两类特殊的5次准球形区域。因此，任意准球形区域的Eshelby张量场在重心处的值 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 等于 $\mathbf{S}^0 \chi^\omega(0)$ 。Nozaki与Taya（2001）通过数值分析也得到了正二十面体与正十二面体的相似结果。

Zheng与Boehler首次给出了任意高阶张量所有可能对称群的完整列表（参见 Zheng, 1994）。他们特别指出，四阶张量在二维和三维情况下最多可分别具有6种和12种对称性。基于 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 的不可约结构，对任意给定的区域转动对称性，我们可通过与上述相似的方法，直接得到 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 对应的受限形式。

5阶准球面域的例子

图2：5阶准球面域的例子

埃舍尔比张量场的平均值

取区域 $\boldsymbol{\omega}$ 的重心为原点，考虑由 $g^\omega$ 从任意给定点 $\mathbf{x}$ 生成的点集

g^\omega \mathbf{x} = \{\mathbf{R}\mathbf{x} : \mathbf{R} \in g^\omega\}

根据定义， $g^\omega \mathbf{x}$ 包含于 $\omega$ 当且仅当 $\mathbf{x} \in \omega$ 。我们关注以下对称平均场：

\bar{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{1}{N^\omega} \sum_{\mathbf{Q} \in g^\omega} \mathbf{S}^\omega(\mathbf{Q}\mathbf{x}) = \frac{1}{N^\omega} \sum_{\mathbf{Q} \in g^\omega} \mathbf{Q}^{\times 4}\mathbf{S}^\omega(\mathbf{x}), \tag{68}

其中 $N^\omega$ 表示 $g^\omega$ 的元素个数。在式(68) $_2$ 中已利用对称性(62)。由于 $\mathbf{S}^\omega$ 的各向同性部分在任意转动张量下不变，我们有

\bar{\mathbf{S}}^\omega = \mathbf{S}^0 \chi^\omega + \bar{\mathbf{A}}^\omega, \tag{69}

其中

\begin{aligned} \bar{\mathbf{A}}^\omega(\mathbf{x}) &= \frac{1}{N^\omega} \sum_{\mathbf{Q} \in g^\omega} \mathbf{Q}^{\times 4}\mathbf{A}^\omega(\mathbf{x}), \\ \bar{\mathbf{d}}^\omega(\mathbf{x}) &= \frac{1}{N^\omega} \sum_{\mathbf{Q} \in g^\omega} \mathbf{Q}^{\times 2}\mathbf{d}^\omega(\mathbf{x}), \\ \bar{\mathbf{D}}^\omega(\mathbf{x}) &= \frac{1}{N^\omega} \sum_{\mathbf{Q} \in g^\omega} \mathbf{Q}^{\times 4}\mathbf{D}^\omega(\mathbf{x}). \end{aligned} \tag{70}

注意到一般性质 $(\mathbf{R}\mathbf{Q})^{\times 4} = \mathbf{R}^{\times 4}\mathbf{Q}^{\times 4}$ ，以及对任意 $\mathbf{R},\mathbf{Q} \in g^\omega$ 有 $\mathbf{R}\mathbf{Q} \in g^\omega$ ，由式(68)可直接得到不变性

\mathbf{R}^{\times 4}\bar{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x}) = \bar{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x}) \quad \text{或} \quad R_{im}R_{jn}R_{kr}R_{ls}\bar{S}_{mnrs}^\omega = \bar{S}_{ijkl}^\omega \tag{71}

对任意 $\mathbf{R} \in g^\omega$ 成立。这表明作为四阶张量的 $\bar{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x})$ 必为 $g^\omega$ 不变的。换句话说，对称平均场 $\bar{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x})$ 在任意点 $\mathbf{x}$ 处的对称结构与 $\mathbf{S}^\omega(0)$ 的对称结构相同。特别地，若 $\omega$ 在二维下为 $C_n(n\ge3,n\neq4)$ 对称，或在三维下为准球对称，则 $\bar{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x})$ 等于 $\mathbf{S}^0 \chi^\omega(\mathbf{x})$ 。我们现在可以给出如下定理。

定理 3.

对于二维任意 $C_n(n\ge3,n\neq4)$ 对称区域 $\boldsymbol{\omega}$ 或三维任意准球形区域 $\boldsymbol{\omega}$ ，其Eshelby张量场 $\mathbf{S}^\omega$ 具有以下与 $\omega$ 几何形状无关的性质：

(i) $\mathbf{S}^\omega$ 在 $\omega$ 上的平均值是各向同性的，且等于二维圆形或三维球形区域的Eshelby张量 $\mathbf{S}^0$ ；
(ii) $\mathbf{S}^\omega$ 在 $\omega$ 中心点 $0$ 处的值等于 $\mathbf{S}^0 \chi^\omega(0)$ ；
(iii) 对称平均场 $\bar{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x})$ 等于 $\mathbf{S}^0 \chi^\omega(\mathbf{x})$ 。

上述定理推广了Nozaki与Taya（1997, 2001）、Kawashita与Nozaki（2001）、Franciosi（2005）以及Wang与Xu（2004）在对区域附加各种额外限制下得到的所有相似结果。

结束语

在本文的结论部分，我们指出：Milgrom与Shtrikman（1992）以及Mura（1987）分别观察到了比式(47) $_{1,2}$ 更具一般性的关系。本节中，我们进一步将他们的观察推广到不可约结构的框架下。

当无限大均匀介质中存在形如 $\varepsilon^*(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x})\chi^\omega(\mathbf{x})\varepsilon^0$ 的本征应变（其中 $f(\mathbf{x})$ 为 $\omega$ 上的任意平方可积函数）时，诱导应变场可表示为 $\varepsilon_{ij}(\mathbf{x}) = \tilde{S}_{ijkl}^\omega \varepsilon_{kl}^0$ ，其中

\tilde{S}_{ijkl}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{C^{mnkl}}{2} \int_\omega \left[ G_{im,nj}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) + G_{jm,ni}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) \right] f(\mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y}, \tag{72}

该张量场被称为广义Eshelby张量场。特别地，我们有

\tilde{S}_{ikik}^\omega(\mathbf{x}) = - \int_\omega C_{ikmn} G_{km,ni}(\mathbf{y} - \mathbf{x}) f(\mathbf{y}) \mathrm{d}\mathbf{y}. \tag{73}

由于格林函数是方程 $C_{ijkl}G_{km,lj}(\mathbf{x}) + \delta_{im}\delta(\mathbf{x}) = 0$ 的解（其中 $\delta(\mathbf{x})$ 为狄拉克δ函数），在三维情况下，Milgrom与Shtrikman从式(73)中观察到如下双迹性质：

\tilde{S}_{ikik}(\mathbf{x}) = 3f(\mathbf{x})\chi^\omega(\mathbf{x}), \tag{74}

该式是式(47) $_1$ 的推广，且与 $\omega$ 的几何形状无关。在二维情况下，我们可得到相似的结果

\tilde{S}_{ikik}(\mathbf{x}) = 2f(\mathbf{x})\chi^\omega(\mathbf{x}), \tag{75}

作为式(24) $_1$ 的推广。在 $n$ 维情况下，一般有

\tilde{S}_{ikik}(\mathbf{x}) = nf(\mathbf{x})\chi^\omega(\mathbf{x}). \tag{76}

需要强调的是，式(74)–(76)不仅适用于各向同性介质，也适用于任意各向异性介质。

若进一步限制介质为各向同性，则有

\tilde{\mathbf{S}}^\omega(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x})\mathbf{S} + \tilde{\mathbf{A}}^\omega(\mathbf{x}). \tag{77}

各向异性部分 $\tilde{\mathbf{A}}^\omega$ 与 $\mathbf{A}^\omega$ 具有相同的不可约结构，即只需将式(36)或(56)中的 $\mathbf{d}^\omega$ 与 $\mathbf{D}^\omega$ 替换为广义偏张量 $\tilde{\mathbf{d}}^\omega$ 与 $\tilde{\mathbf{D}}^\omega$ （通过在式(25)、(32)、(33)、(46)、(52)、(53)中用 $f(\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{y}$ 替换 $\mathrm{d}\mathbf{y}$ 得到），即可得到 $\tilde{\mathbf{A}}^\omega$ 。特别地，式(27) $_2$ 与(47) $_2$ 的推广形式为

二维情况

\tilde{S}_{iikk}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{1}{1-v} f(\mathbf{x})\chi^\omega(\mathbf{x}), \tag{78}

三维情况

\tilde{S}_{iikk}^\omega(\mathbf{x}) = \frac{1+v}{1-v} f(\mathbf{x})\chi^\omega(\mathbf{x}). \tag{79}

Mura（1987）观察到了式(79)，并进一步指出：当施加的本征应变为 $\varepsilon^* = \varepsilon^0\chi^\omega$ （即 $f \equiv 1$ ）且为静水压力型（ $\varepsilon_{ij}^0 = p\delta_{ij}$ ）时，体积变化在 $\omega$ 内均匀且在 $\omega$ 外为零。由式(78)，我们得到相似的结论：当施加的 $\varepsilon^0$ 为静水压力型时，面积变化在 $\omega$ 内均匀且在 $\omega$ 外为零。

补充材料

设 $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{a}$ 为三个相互正交的单位向量，引入如下生成复向量值函数：

\mathbf{w}=2\mathbf{a}+x(\mathbf{e}_1+\imath\mathbf{e}_2)-x^{-1}(\mathbf{e}_1-\imath\mathbf{e}_2) \tag{80}

其中 $\imath$ 为单位虚数。由于 $w_iw_i\equiv0$ ， $m$ 阶张量 $\mathbf{w}^{\times m}$ 为偏张量。 $\mathbf{w}^{\times m}$ 关于 $x$ 的展开式可表示为如下形式（Zheng and Zou, 2000）：

\mathbf{w}^{\times m}=\mathbf{P}_0^{(m)}+\sum_{s=1}^m\left[x^s\mathbf{W}_s^{(m)}+(-1)^s x^{-s}\bar{\mathbf{W}}_s^{(m)}\right], \tag{81}

其中 $\bar{\mathbf{W}}_s^{(m)}$ 为 $\mathbf{W}_s^{(m)}$ 的复共轭。 $\mathbf{W}_s^{(m)}$ 的实部与虚部分别记为 $\mathbf{P}_s^{(m)}$ 与 $\mathbf{Q}_s^{(m)}$ 。以下两个性质是三维偏张量最基本的性质：

如下 $(2m+1)$ 个偏张量
$\mathbf{P}_0^{(m)},\mathbf{P}_1^{(m)},\mathbf{Q}_1^{(m)},\dots,\mathbf{P}_m^{(m)},\mathbf{Q}_m^{(m)} \tag{82}$
构成所有三维偏张量的正交基。换句话说，任意三维偏张量均可表示为上述 $(2m+1)$ 个张量的线性组合。
对任意绕轴 $\mathbf{a}$ 转动角度 $\theta$ 的转动张量 $\mathbf{R}(\theta\mathbf{a})$ ，式(82)中基张量在 $\mathbf{R}$ 作用下的变换为：
$\mathbf{R}(\theta\mathbf{a})^{\times m}\mathbf{P}_0^{(m)}=\mathbf{P}_0^{(m)}, \tag{83}$
以及
$\left.\begin{aligned} \mathbf{R}(\theta\mathbf{a})^{\times m}\mathbf{P}_s^{(m)}&=\mathbf{P}_s^{(m)}\cos s\theta-\mathbf{Q}_s^{(m)}\sin s\theta,\\ \mathbf{R}(\theta\mathbf{a})^{\times m}\mathbf{Q}_s^{(m)}&=\mathbf{P}_s^{(m)}\sin s\theta+\mathbf{Q}_s^{(m)}\cos s\theta, \end{aligned}\right\}\quad\text{for }1\leq s\leq m. \tag{84}$

由式(84)可知，当整数 $n>m$ 时，式(82)中除 $\mathbf{P}_0^{(m)}$ 外的所有基偏张量在 $\mathbf{R}((2\pi/n)\mathbf{a})$ 作用下均不具有不变性。因此，若 $m$ 阶偏张量 $\mathbf{D}$ 关于优轴 $\mathbf{a}$ 具有 $C_n(n>m)$ 对称性，则 $\mathbf{D}$ 必可表示为 $\mathbf{D}=\kappa'\mathbf{P}_0^{(m)}$ 。注意到恒等式

\lfloor\mathbf{a}^{\times m}\rfloor=\frac{(m!)^2}{(2m)!}\mathbf{P}_0^{(m)} \tag{85}

进一步可得 $\mathbf{D}=\kappa\lfloor\mathbf{a}^{\times m}\rfloor$ ，其中 $\kappa'$ 与 $\kappa$ 为标量。

最后，对任意单位向量 $\mathbf{b}=\sin\phi\mathbf{e}_1+\cos\phi\mathbf{a}$ ，有（Zheng and Zou, 2000）

\lfloor\mathbf{b}^{\times m}\rfloor=\frac{(m!)^2}{(2m)!}\left[P_0^{(m)}(\cos\phi)\mathbf{P}_0^{(m)}+2\sum_{s=1}^m P_s^{(m)}(\cos\phi)\mathbf{P}_s^{(m)}\right], \tag{86}

其中 $P_0^{(m)}(x)$ 与 $P_s^{(m)}(x)$ 分别为勒让德函数和连带勒让德函数：

P_0^{(m)}(x)=\frac{1}{2^m m!}\frac{d^m(x^2-1)^m}{dx^m},\quad P_s^{(m)}(x)=\frac{(1-x^2)^{s/2}}{2^m m!}\frac{d^{m+s}(x^2-1)^m}{dx^{m+s}}. \tag{87}

因此， $\lfloor\mathbf{b}^{\times m}\rfloor$ 为 $C_n(n>m)$ 不变的充要条件是，对所有 $s=1,2,\dots,m$ 有 $P_s^{(m)}(\cos\phi)=0$ 。这要求 $\cos\phi=1$ ，即等价于 $\mathbf{b}=\mathbf{a}$ 。换句话说， $\lfloor\mathbf{a}^{\times m}\rfloor$ 无法关于另一轴保持 $C_n(n>m)$ 不变性。作为一个有用的推论，可得到如下引理：

引理 4. 任意非零的三维 $m$ 阶偏张量，无法关于两个不共线的轴同时具有 $C_n(n>m)$ 不变性。

勘误表

本文通讯作者（QSZ）谨就论文中公式(56)、(57)存在的错误，以及公式(24)、(45)中的印刷错误致歉。

公式(56)的正确形式
$A_{ijkl}^\omega = -\frac{1}{7(1-v)} \delta_{ij} d_{kl}^\omega - \frac{1-7v}{7(1-v)} \delta_{kl} d_{ij}^\omega + \frac{5-7v}{14(1-v)} \left( \delta_{ik} d_{jl} + \delta_{il} d_{jk} + \delta_{jk} d_{li} + \delta_{jl} d_{ik} \right) + \frac{1}{1-v} D_{ijkl}^\omega$
公式(57)的正确形式
$\frac{1-v}{2\mu} \Omega_{ijkl}^\omega = \frac{7-5v}{30} \left( \delta_{ik} \delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} \right) + \frac{5v+1}{15} \delta_{ij} \delta_{kl} + \frac{1-7v}{7} \left( \delta_{ij} d_{kl}^\omega + \delta_{kl} d_{ij}^\omega \right) - \frac{5-7v}{14} \left( \delta_{ik} d_{jl} + \delta_{il} d_{jk} + \delta_{jk} d_{li} + \delta_{jl} d_{ik} \right) - D_{ijkl}^\omega$
公式(24)第一式的正确形式
$S_{ikjk}^\omega = \frac{1}{2} \delta_{ij} \chi_{kk}^\omega + \chi_{ij}^\omega$
公式(45)第一式的正确形式
$S_{ikjk}^\omega = \frac{3}{2} \chi_{ij}^\omega + \frac{1}{2} \delta_{ij} \chi_{kk}^\omega$
公式(46)的正确形式
$\chi_{ij}^\omega(\mathbf{x}) = -\frac{1}{4\pi} \int_\omega \left( \frac{1}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|} \right)_{,ij} \mathrm{d}\mathbf{y}$

所有这些错误均源于对 $G_{ij,kk}$ 中涉及的部分调和函数积分计算错误。例如，在三维情况下，以下两项积分：

(\ln|\mathbf{z}|)_{,kk},\quad \left( \frac{z_i z_j z_k}{|\mathbf{z}|^4} \right)_{,k}

的正确值为

\int_\omega (\ln|\mathbf{z}|)_{,kk} \mathrm{d}\mathbf{y} = 2\pi \chi^\omega(\mathbf{x}),\quad \int_\omega \left( \frac{z_i z_j z_k}{|\mathbf{z}|^4} \right)_{,k} \mathrm{d}\mathbf{y} = \pi \chi^\omega(\mathbf{x}) \delta_{ij}.

此外，公式(41)的第二式存在印刷错误，其正确形式应为

S_{kkij}^\omega = - \int_\omega \left[ \lambda G_{kl,kl} \delta_{ij} + \mu \left( G_{ik,jk} + G_{jk,ik} \right) \right] \mathrm{d}\mathbf{y}.

幸运的是，上述修正并未影响摘要及后续第5节及以后部分所呈现的主要结果与结论。