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基于拓扑优化的3 D曲面屈曲引导装配的逆向设计策略

基于拓扑优化的3D曲面屈曲引导装配的逆向设计策略

摘要

先进功能材料中的复杂三维介观结构由于其广泛的应用而受到越来越多的关注。通过压缩屈曲进行的机械引导三维组装，为从亚微米到毫米尺度的丰富多样的三维介观结构和微电子器件提供了确定性的构建途径。现有研究建立了将目标三维几何形状映射到未知二维前驱体的逆向设计方法，但主要集中于线状带状几何形状。尽管已有报道依赖二维前驱体的空间厚度变化来实现三维表面的逆向设计，但这可能导致与成熟的平面制造技术缺乏兼容性。在屈曲引导三维组装的框架内，本文提出了一种基于拓扑优化的计算方法，以解决具有均匀厚度分布的二维前驱体生成三维表面的逆向设计问题。具体而言，利用弯曲带状组件来离散不可展的目标表面，然后进行优化，以确保组装出的三维表面与目标几何形状达到最佳匹配。通过对十多个精细示例（包括笼状乃至一般目标表面）进行的计算与实验相结合的研究，证明了所提方法的有效性和适用性。

关键词： 三维组装；逆向设计；拓扑优化；屈曲

1. 引言

由高性能材料构成的三维介观结构已在诸多新兴领域实现了重要应用，例如微纳机电系统[1-7]、软体机器人[8-15]、柔性电子[16-25]和超材料[26-36]。目前已有多种技术可用于制造复杂的三维介观结构[16, 37-50]。其中，最近发展起来的由压缩屈曲引导的确定性自组装方法[51-55]，因其适用于广泛的长度尺度并与成熟的平面制造技术具有极佳的兼容性，已激发出广泛的研究兴趣。通过精确控制选择性地键合在预拉伸弹性体基底上的图案化二维前驱体的屈曲变形，该方法已能够组装出具有丰富多样三维构型的介观结构[56-60]，以及具有优异性能的新型微器件[24, 61-65]。现有研究主要集中于基于预定机械载荷下预设计的二维前驱体结构的后屈曲分析，从理论上/数值上预测三维构型，这可被视为一个正向问题[66-71]。同时，为了拓展三维组装方法的实用性，目前已发展出一些策略来解决逆向设计问题，即确定所需三维结构对应的二维前驱体的初始几何参数和加载条件[72-76]。例如，据报道，采用遗传算法的优化方法可以解决设计变量数量有限的逆向问题[72, 75]，但此类方法只能处理丝带状几何形状。在曲面构型的三维组装方面，一些最新的工作[73, 74]提出了逆向设计问题的解析解，其思路基于空间变化的刚度和基于离散化的近似。然而，这些研究利用了初始平面结构的非均匀厚度分布来实现精确定制的三维几何形状，这与成熟的平面制造技术兼容性不佳。

在屈曲引导三维组装的框架下，本文提出了一种基于拓扑优化的计算方法，以实现由均匀厚度的二维前驱体组装而成的三维曲面结构的逆向设计。通过将不可展的目标三维曲面离散为一组弯曲的带状组件，我们利用从自适应遗传算法（AGA）获得的最优离散化选择来复现所需的三维曲面。将离散化带状中的宽度分布作为一个附加的设计变量，可以显著提高诸如鼓形和半椭球体等曲面的计算精度。在这些情况下，二维前驱体结构的夹层设计能够保证三维曲面复现的完整性。为了实现具有笼状及更一般形状的曲面，在优化方法中引入了两种有代表性的离散化策略，并通过超过10个结合计算和实验结果的示例证明了其适用性。

2. 逆向设计以复现具有笼状形状的三维曲面

在组成材料处于小应变（例如，< 5%）的条件下，大多数不可展的三维曲面无法直接再现平面薄板的后屈曲过程。因此，有必要利用离散化的概念，将目标三维曲面划分为一组带状组件，通过屈曲引导组装来实现形状再现（图1a）。每个带状组件的厚度和宽度都远小于其长度，可以使用欧拉-伯努利梁理论进行建模。在本节中，我们首先建立基本的力学模型，以获取从目标曲面离散化得到的带状框架结构的二维前驱体构型。通过将离散化带状中心线上点的坐标值设置为设计变量，开发了基于拓扑优化的逆向设计方法，用于复现中心对称的目标曲面，详见第2.2节。第2.3节说明了本研究中有限元分析和实验的实施。第2.4节提供了针对中心对称三维曲面的逆向设计结果，以验证所开发方法的有效性。第2.5节介绍了一种改进方法，通过将带状宽度作为一个附加变量并优化从目标曲面离散化得到的整个带状框架结构，来进一步提高逆向设计的准确性和普适性。

2.1. 基本力学模型

对于中心对称的三维曲面，这是一类典型的具有笼状特征的曲面，可以采用沿圆周方向的离散化策略，其中所有离散化的带状组件都是相同的，并通过中心节点连接形成带状框架结构（图1a）。在这种情况下，通过解决离散化带状组件的逆向设计问题，可以复现整个中心对称的三维目标表面。

设全局坐标系中的YZ平面为屈曲引导装配的平台。考虑一个三维半球面作为目标表面，其解析表达式由下式给出：

F(x,y,z)=x2+y2+z2−r2=0, r>0, x>0,(1) F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0,\,r>0,\,x>0,\qquad(1)

如图1a所示。图1b和c说明了从目标表面分离出的带状结构逆向设计的具体方法。首先，我们需要从目标表面提取目标带状的拓扑结构，包括中心线（红线）的位置和横截面的扭转。为了简化数值分析，整个构型可以投影到YZ平面上，如图1b所示。从目标表面离散化得到的目标带状的中心线位置可以被确定。例如，中心线的两个端点和中点分别为L(0,-r)、R(0, r)和O(0, 0)。通过在中心线上设置两个关于中点中心对称的附加点A(y, z)和B(-y, -z)，中心线的函数 r(S)=(X(S),Y(S),Z(S)) r(S)=(X(S),Y(S),Z(S)) 可以通过这五个样本点（使用B样条函数）进行插值得到，其中S表示中心线的弧长坐标。

如图1c所示，可以根据中心线的Frenet标架 ei∗ \boldsymbol{e}_{i}^{*} (i=1, 2, 3) 建立一个局部正交坐标系，其中 e1∗ \boldsymbol{e}_{1}^{*} 、e2∗ \boldsymbol{e}_{2}^{*} 和 e3∗ \boldsymbol{e}_{3}^{*} 分别表示中心轴的法线、副法线和切线方向。曲梁的欧拉框架 ei \boldsymbol{e}_{i} (i=1, 2, 3) 也可以建立，其中 e1 \boldsymbol{e}_{1} 和 e2 \boldsymbol{e}_{2} 是沿横截面主轴的正交单位向量，而 e3 \boldsymbol{e}_{3} 与中心线相切，与 e3∗ \boldsymbol{e}_{3}^{*} 重合。向量 e1 \boldsymbol{e}_{1} 和 e2 \boldsymbol{e}_{2} 也分别是 3D 表面的法向量和切向量。初始平面带的对应欧拉框架则是 Ei \boldsymbol{E}_{i} (i=1, 2, 3)。由此，单位向量 e1∗ \boldsymbol{e}_{1}^{*} 和 e1 \boldsymbol{e}_{1} 可以很容易地从中心线的参数函数 r(S) \boldsymbol{r}(S) 通过

e1∗=r′′∣r′′∣(2) \boldsymbol{e}_{1}^{*}=\frac{\boldsymbol{r}''}{\left|\boldsymbol{r}''\right|} \quad (2)

和

e1=−F′∣r=r(S)∣F′∣r=r(S),(3) \boldsymbol{e}_{1}=-\frac{\left.F'\right|_{\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(S)}}{\left|F'\right|_{\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(S)}}, \quad (3)

获得，其中 F′=(Fx,Fy,Fz) F'=\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) 是目标表面解析方程的一阶偏导数。我们引入基于右手螺旋定则从 e1∗ \boldsymbol{e}_{1}^{*} 顺时针旋转到 e1 \boldsymbol{e}_{1} 的角度作为扭转角 θ(S) \theta(S) ，它可以表示为

θ(S)=arccos⁡(e1∗e1∣e1∗∣∣e1∣)=arccos⁡(e1∗e1),(4) \theta(S)=\arccos\left(\frac{\boldsymbol{e}_{1}^{*}\boldsymbol{e}_{1}}{\left|\boldsymbol{e}_{1}^{*}\right||\boldsymbol{e}_{1}|}\right)=\arccos\left(\boldsymbol{e}_{1}^{*}\boldsymbol{e}_{1}\right), \quad (4)

用于描述横截面的扭转。然后，欧拉框架 ei \boldsymbol{e}_{i} 可以通过以下关系与弗莱纳框架 ei∗ \boldsymbol{e}_{i}^{*} 关联：

(e1e2e3)=(cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θcos⁡θ0001)(e1∗e2∗e3∗).(5) \begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_{1}\\\boldsymbol{e}_{2}\\\boldsymbol{e}_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta&0\\-\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\boldsymbol{e}_{1}^{*}\\\boldsymbol{e}_{2}^{*}\\\boldsymbol{e}_{3}^{*}\end{pmatrix}. \quad (5)

与中心线弗莱纳框架相关的曲率 κ1∗ \kappa_{1}^{*} 可以从参数方程 r(S) \boldsymbol{r}(S) 计算出

κ1∗=∣d2rdS2∣≥0.(6) \kappa_{1}^{*}=\left|\frac{d^{2}r}{dS^{2}}\right|\geq 0.\qquad(6)

因此，目标带状相对于横截面向量 e1 e_{1} 方向的弯曲曲率 κ1 \kappa_{1} 可以通过质心线的曲率和扭转角由下式确定

κ1=−de3dS∙e2=−de3∗dS∙(−sin⁡θe1∗+cos⁡θe2∗)=sin⁡θκ1∗∈[−κ1∗,κ1∗].(7) \kappa_{1}=-\frac{d e_{3}}{d S} \bullet e_{2}=-\frac{d e_{3}^{*}}{d S} \bullet(-\sin \theta e_{1}^{*}+\cos \theta e_{2}^{*})=\sin \theta \kappa_{1}^{*} \in[-\kappa_{1}^{*}, \kappa_{1}^{*}].\qquad(7)

对于厚度远小于宽度和长度的细长带状结构，其压缩屈曲过程主要受面外弯曲和扭转变形控制。因此，假设面内弯曲曲率在三维组装过程中保持不变。这样，初始二维前驱体质心线的曲率 K1 K_{1} 近似等于弯曲曲率 κ1 \kappa_{1} ，平面带状结构的质心线也由此可以确定。此外，带状的厚度固定为弧长(Ls)的 1/900，其宽度分布可以精确求解为

w(S)={π(Y2(S)+Z2(S))n⋅S∈[0,Ls2−aLs]∩[Ls2+aLs,Ls]π(Y2(Ls2−aLs)+Z2(Ls2−aLs))n,S∈(Ls2−aLs,Ls2+aLs),(8) w(S)=\left\{\begin{array}{l} \frac{\pi \sqrt{\left(Y^{2}(S)+Z^{2}(S)\right)}}{n} \cdot S \in\left[0, \frac{L s}{2}-a L s\right] \cap\left[\frac{L s}{2}+a L s, L s\right]\\ \frac{\pi \sqrt{\left(Y^{2}\left(\frac{L s}{2}-a L s\right)+Z^{2}\left(\frac{L s}{2}-a L s\right)\right)}}{n}, S \in\left(\frac{L s}{2}-a L s, \frac{L s}{2}+a L s\right) \end{array}\right.,\qquad(8)

其中 n 指的是从目标表面离散化得到的带状组件的数量，在当前关于笼状形状三维曲面逆向设计的研究中设置为 8。二维前驱体中点附近距离为(aLs)的中心区域，其带状组件的宽度保持均匀，以确保不同带状组件之间的连接性。为了提高逆向设计的准确性，我们在三维组件中的带状结构每个端点处引入平面外旋转加载，除了平面内位移加载。如图1c所示，两端平面内位移的值，Uapp1 U_{\text{app}1} 和 Uapp2 U_{\text{app}2} ，被确定为目标与初始带状结构对应端之间的距离。平面外旋转角度，Uapp3 U_{\text{app}3} 和 Uapp4 U_{\text{app}4} ，其旋转轴分别为 V1 V_{1} 和 V2 V_{2} ，可以根据它们的位置获得。至此，一旦从目标表面离散化的目标带状结构的中心线位置被确定，初始平面带状构型和所需加载可以直接获得。然而，并非所有从目标表面任意离散化的弯曲带状都能通过屈曲引导组装精确形成。为了解决目标三维表面的逆向设计问题，我们的目标是实现通过规定加载组装的屈曲构型与从期望表面离散化的目标带状框架结构之间的最佳匹配，正如由中心线和横截面扭转所定义的。

2.2. 基于拓扑优化的逆向设计策略

本研究中描述的逆向设计问题可以表述为一个拓扑优化问题，以寻求离散化带状组件的最佳布局。根据上述力学模型，两个中心对称点（A和B）的坐标值可以作为在目标三维表面占据的优化区域D内要优化的变量，如图1b所示。然后我们引入中心线之间的相对坐标误差 δ \delta ，目标与装配构型之间的差异可通过最小二乘形式计算：

δ=∑k=1m∑j=13[Cjresult(Sk)−Cjtarget(Sk)]2∑k=1m∑j=13[Cjtarget(Sk)−Cjcentroid]2,(9) \delta=\frac{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[C_{j}^{\text{result}}\left(S_{k}\right)-C_{j}^{\text{target}}\left(S_{k}\right)\right]^{2}}}{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[C_{j}^{\text{target}}\left(S_{k}\right)-C_{j}^{\text{centroid}}\right]^{2}}},\qquad(9)

其中 Sk S_{k} (k=1,2,…,m) 指有限元分析 (FEA) 中第 k 个节点的弧长坐标；Cj C_{j} (j=1,2,3) 是沿全局坐标系三个轴 (X,Y 和 Z) 的坐标分量；Cjcentroid C_{j}^{\text{centroid}} 是目标表面在 YZ 平面上的质心坐标分量，可设为连接所有带状体两端的线的交点。例如，Cjcentroid C_{j}^{\text{centroid}} 表示具有半球形的目标表面的原点 O。由于整个三维表面的优化精度取决于质心线坐标的匹配和横截面扭转角，因此此类拓扑优化问题的目标函数可以用简单的线性加权形式定义为

δ‾=δC2+δe3+4+δe1+4=∑k=1m∑j=13[Cjresult(Sk)−Cjtarget(Sk)]22∑k=1m∑j=13[Cjtarget(Sk)−Cjcentroid]2+∑i=1v∑j=13[e3j∗result(Si)−e3j∗target(Si)]24∑i=1v∑j=13[e3j∗target(Si)]2+∑i=1v∑j=13[e1j∗result(Si)−e1j∗target(Si)]24∑i=1v∑j=13[e1j∗target(Si)]2,(10) \begin{align*}&\overline{\delta}=\frac{\delta_{C}}{2}+\frac{\delta_{e_{3}^{+}}}{4}+\frac{\delta_{e_{1}^{+}}}{4}\\=&\frac{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[C_{j}^{\text{result}}\left(S_{k}\right)-C_{j}^{\text{target}}\left(S_{k}\right)\right]^{2}}}{2\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[C_{j}^{\text{target}}\left(S_{k}\right)-C_{j}^{\text{centroid}}\right]^{2}}}+\frac{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{v}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[e_{3_{j}}^{*\text{result}}\left(S_{i}\right)-e_{3_{j}}^{*\text{target}}\left(S_{i}\right)\right]^{2}}}{4\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{v}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[e_{3_{j}}^{*\text{target}}\left(S_{i}\right)\right]^{2}}}\\+&\frac{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{v}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[e_{1_{j}}^{*\text{result}}\left(S_{i}\right)-e_{1_{j}}^{*\text{target}}\left(S_{i}\right)\right]^{2}}}{4\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{v}\sum\limits_{j=1}^{3}\left[e_{1_{j}}^{*\text{target}}\left(S_{i}\right)\right]^{2}}},\end{align*}\qquad(10)

其中 δC \delta_{C} ,δe3+ \delta_{e_{3}^{+}} 和 δe1+ \delta_{e_{1}^{+}} 分别指质心线坐标、向量 e3∗ e_{3}^{*} 和向量 e1∗ e_{1}^{*} 的相对误差[72]。注意，权重系数可以根据实际要求进行调整。因此，多目标问题可以转换为单目标问题。此外，我们引入扭转角的相对误差来比较目标与优化后的带材之间的横截面扭转，其计算公式为

δθ=∑i=1v∣θresult(Si)−θtarget(Si)∣∑i=1vθtarget(Si) ,(11)\delta_{\theta}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{v}\left|\theta^{\text{result}}\left(S_{i}\right)-\theta^{\text{target}}\left(S_{i}\right)\right|}{\sum\limits_{i=1}^{v}\theta^{\text{target}}\left(S_{i}\right)}\,,\qquad(11)

其中 Si S_{i} (i=1, 2, …, v) 指在有限元分析中均匀分布在带材上的样本节点的弧长坐标。

应该指出，自适应遗传算法（AGA）适用于逆向问题的拓扑优化，因为它在解决难以规定目标函数与变量之间解析表达式的问题时具有广泛的适用性和鲁棒性[77, 78]。与传统遗传算法相比，改进的自适应遗传算法利用自适应的交叉和变异概率，能够更快地收敛到全局最优解。一个名为DEAP[79]的分布式进化算法建模包被用于实现优化过程。每代50个个体会被设置为一个种群群体以确保准确性。

总之，通过将少数点的坐标值（用于目标表面的离散化）分配为优化变量，并将加权相对误差作为目标函数，基于拓扑优化的目标三维表面的逆向设计问题可以表述如下。

找到 P=(y1,y2,...,yn,z1,z2,...,zn)P=\left(y_{1},y_{2},...,y_{n},z_{1},z_{2},...,z_{n}\right)

使得 yn,zn∈Dy_{n},z_{n}\in D

最小化 δˉ=δC2+δe1∗4+δe1∗4\bar{\delta}=\frac{\delta_{C}}{2}+\frac{\delta_{e_{1}^{*}}}{4}+\frac{\delta_{e_{1}^{*}}}{4}.

(12)

2.3. 有限元分析与实验的实施

本研究结合数值模拟和实验测量来说明所提出的逆向设计方法的多功能实用性。在有限元分析中，采用了商业软件 ABAQUS 及其标准（隐式）求解器来模拟屈曲引导的组装过程。对于聚酰亚胺（PI；弹性模量 = 2.5 GPa，泊松比 = 0.34）的二维前驱体结构，使用了二节点梁单元（B31），并通过细化网格确保了计算精度。

图 1d 展示了将优化的二维前驱体转化为所需三维表面构型的实验过程。在我们的实验中，通过数字激光切割成型的聚酰亚胺薄膜（厚度约为 75 μm）作为从逆向设计求解得到的二维前驱体。通过 3D 打印制作的小型楔形块（厚度为 5 mm）被用作键合平台，使得键合表面的法线方向沿着带材末端的单位向量 e1e_{1}，从而在组装过程中施加面外旋转。将键合平台粘附到预拉伸的硅橡胶弹性体（厚度约为 2 mm，Dragon Skin）上的预定键合位置后，二维前驱体可以通过共价硅氧烷键转移到键合平台上。释放基底即可将二维前驱体转化为三维表面构型。

2.4. 中心对称三维曲面的逆向设计结果

我们首先考虑一个半球形曲面的逆向设计，其解析表达式由下式给出：

x2+y2+z2=252, x>0.(13) x^{2}+y^{2}+z^{2}=25^{2},\,x>0.\qquad(13)

如第2.1节所述，由于所有离散化的带状组件是相同的，因此完成单个带状组件的逆向设计即可实现整个中心对称形状曲面的再现。这样，该优化问题只有两个设计变量。图2a展示了从变量的随机初始值开始的逆向设计的优化历程。经过50代的演化，目标函数值降至4.00%，并获得了最优的离散化带状结构及其相应的二维前驱体构型。为了直观说明优化方法的收敛性和适用性，我们提取了第一代、第二代、第五代和最后一代的设计变量值，并将相应的组装带状框架构型与目标曲面进行了比较（图2b）。随着世代数的增加，优化后的曲面构型与目标曲面吻合得更好。从俯视图（图2c）中目标和优化后离散化带状结构的坐标分量（基于有限元分析和实验）以及横截面扭转角（图S1）的定量比较中也可以观察到良好的一致性。

图2d展示了另外两个具有中心对称性的目标三维曲面示例，其母线分别为抛物线和正弦曲线。这两个目标曲面的解析表达式如下：

2x+y2+z2=1,x>0(14) 2x+y^{2}+z^{2}=1, x>0\qquad(14)

和

2x−cos⁡(πy2+z2)=1,x>0.(15) 2x-\cos(\pi\sqrt{y^{2}+z^{2}})=1, x>0.\qquad(15)

使用所开发的逆向设计方法，也能很好地复现这两个三维曲面。两种情况下获得的相对误差都非常低（<3%），目标曲面与实验组装的构件之间良好的一致性证明了这一点。需要指出的是，逆向设计的精度随着离散化带状物数量的增加而提高，如对具有正弦曲线形状母线的目标曲面的优化结果所示（图 S2）。

2.5. 逆向设计策略的改进

2.5.1. 通过引入带状物宽度作为附加变量进行优化

根据先前的研究[80-83]，带状物的非均匀宽度分布会引起弯曲和扭转刚度的空间变化，从而影响组装过程中最终三维构型的形状。基于拓扑优化，逆向设计也可以将带状物的宽度作为附加设计变量引入，以提高逆向设计策略的精度。对于中心对称三维曲面的逆向设计，归一化宽度 wˉ(S)\bar{w}(S) 的函数也可以用五个设计变量（wˉ1\bar{w}_{1}, wˉ2\bar{w}_{2}, 1, wˉ2\bar{w}_{2} 和 wˉ1\bar{w}_{1}）通过 B 样条函数进行插值，其中 wˉ1\bar{w}_{1} 和 wˉ2\bar{w}_{2} 是两个附加的归一化宽度变量。考虑到带状框架结构是从目标表面离散化得到的，并且带状的宽度只能减小以避免自重叠，这两个宽度变量的范围设为 [0.05, 1]。那么，减小后的带状宽度函数 w′(S) w'(S) 可以通过以下公式获得：

w′(S)=w(S)wˉ(S),(16) w^{\prime}(S)=w(S)\bar{w}(S),\qquad(16)

如图 3a 所示。至此，将横截面宽度作为附加优化变量的目标中心对称曲面的逆向设计问题可以表述为：

找到 P=(y1,y2,z1,z2,wˉ1,wˉ2) P=\left(y_{1},y_{2},z_{1},z_{2},\bar{w}_{1},\bar{w}_{2}\right)

满足 y1,y2,z1,z2∈D y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}\in D , wˉ1,wˉ2∈[0.05,1] \bar{w}_{1},\bar{w}_{2}\in[0.05,1]

最小化 δˉ=δC2+δe34+δe14 \bar{\delta}=\frac{\delta_{C}}{2}+\frac{\delta_{e_{3}}}{4}+\frac{\delta_{e_{1}}}{4} .

图 3b 提供了一种解决方案，用于填补三维组装后各个带状组件之间的间隙，这是由于带状宽度减小所致。这里，采用了二维前驱体结构的夹层设计：将一层薄的 PI 薄膜（具有带状框架结构中的初始宽度）通过粘合剂层转移到一层厚的 PI 薄膜（具有带状框架结构中减小的宽度）上。该薄膜比厚薄膜薄得多（约为 1/10），因此组装构型的形状主要依赖于优化后的底部厚层二维前驱体。在实验中，薄层和厚层 PI 的厚度分别约为 7.5μm 和 75μm。

一个鼓形目标表面的示例，其可通过解析式表达为

9x+(y2+z2)2=9, x>0,(18) 9x+(y^{2}+z^{2})^{2}=9,\,x>0,\qquad(18)

在图 3c 中进行了展示，以说明通过额外优化带状组件的宽度所提高的精度。经过 200 代优化后，可变宽度优化的相对误差降至 5.24%，这不到固定宽度（未优化）情况下相对误差的一半。通过比较组装构型，可以得出类似的结论：宽度减小的优化表面比固定宽度的表面更接近目标鼓形表面。图 3d 提供了通过利用夹层前驱体结构（基于 FEA 和实验）对鼓形表面进行逆向设计的结果。这些结果表明，薄的 PI 层不仅可以消除带状组件之间的间隙以产生完整的 3D 表面，而且对组装构型的形状几乎没有影响。

2.5.2. 非中心对称笼状目标表面的逆向设计

对于图 4a 所示的非中心对称表面，离散化的带状结构并非完全相同，因此，我们不能仅仅通过对单个带状组件进行逆向设计来实现复制。在这种情况下，应该优化从目标表面离散化的整个带状框架结构。作为一个例子，图 4b 展示了基于拓扑优化的、具有更一般笼状形状的目标表面的逆向设计。对于其中一个离散化的带状结构，沿带状方向两侧的质心线（即切割线）函数 r1(S)=(X1(S),Y1(S),Z1(S)) r_{1}(S)=(X_{1}(S),Y_{1}(S),Z_{1}(S)) 和 r2(S)=(X2(S),Y2(S),Z2(S)) r_{2}(S)=(X_{2}(S),Y_{2}(S),Z_{2}(S)) ，可以通过离散样本点的坐标值插值得到，分别为 (A1,B1,O,C1,D1)(A_1, B_1, O, C_1, D_1) 和 (A2,B2,O,C2,D2)(A_2, B_2, O, C_2, D_2)。这里，(A1,A2)(A_1, A_2) 和 (D1,D2)(D_1, D_2) 位于带的两个端点。注意，当目标表面具有一定程度的对称性时，可以减少需要优化的样本点数量。例如，我们只需要考虑两个优化样本点 A1 A_{1} 和 B1 B_{1} 来描述沿 Y 或 Z 轴的带（即图 4b 中的蓝色带）。因此，每条带的质心线函数 r(S)=(X(S),Y(S),Z(S)) \mathbf{r}(S)=(X(S),Y(S),Z(S)) 可以用其两条切割线的函数表示为：

X(S)=X1(S)+X2(S)2, Y(S)=Y1(S)+Y2(S)2, Z(S)=Z1(S)+Z2(S)2.(19) X(S)=\frac{X_{1}(S)+X_{2}(S)}{2},\,Y(S)=\frac{Y_{1}(S)+Y_{2}(S)}{2},\,Z(S)=\frac{Z_{1}(S)+Z_{2}(S)}{2}.\qquad(19)

扭转角函数 θ(S) \theta(S) 可以从目标表面获得，宽度分布函数 w(S) w(S) 可以通过以下公式计算：

w(S)={(Y1(S)−Y2(S))2+(Z1(S)−Z2(S))2, S∈[0, Ls2−aLs]∩[Ls2+aLs, Ls](Y1(Ls2−aLs)−Y2(Ls2−aLs))2+(Z1(Ls2−aLs)−Z2(Ls2−aLs))2,(20) w(S)=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{(Y_{1}(S)-Y_{2}(S))^{2}+(Z_{1}(S)-Z_{2}(S))^{2}},\,S\in\left[0,\,\frac{Ls}{2}-aLs\right]\cap\left[\frac{Ls}{2}+aLs,\,Ls\right]\\ \sqrt{(Y_{1}(\frac{Ls}{2}-aLs)-Y_{2}(\frac{Ls}{2}-aLs))^{2}+(Z_{1}(\frac{Ls}{2}-aLs)-Z_{2}(\frac{Ls}{2}-aLs))^{2}},\end{array}\right.\qquad(20)

应指出的是，连接带组件在接头处的角度 φ \varphi 可以假设在组装过程中不变，如图 4b 所示，因为变形主要发生在其他位置。为此，改进的逆向设计问题可以用非中心对称笼状形状再现目标表面来表示。

找到

P=[A11(y11,z11),B11(y21,z21),A12(y12,z12),B12(y22,z22),…,A18(y18,z18),B18(y28,z28),A21(y31,z31),B21(y41,z41),A22(y32,z32),B22(y42,z42),…,A28(y38,z38),B28(y48,z48),C11(y51,z51),D11(y61,z61),C12(y52,z52),D12(y62,z62),…,C18(y58,z58),D18(y68,z68),C21(y71,z71),D21(y81,z81),C22(y72,z72),D22(y82,z82),…,C28(y78,z78),D28(y88,z88),] P=\begin{bmatrix}A_1^{1}\left(y_{11}, z_{11}\right), B_1^{1}\left(y_{21}, z_{21}\right), A_1^{2}\left(y_{12}, z_{12}\right), B_1^{2}\left(y_{22}, z_{22}\right), \dots, A_1^{8}\left(y_{18}, z_{18}\right), B_1^{8}\left(y_{28}, z_{28}\right), \\A_2^{1}\left(y_{31}, z_{31}\right), B_2^{1}\left(y_{41}, z_{41}\right), A_2^{2}\left(y_{32}, z_{32}\right), B_2^{2}\left(y_{42}, z_{42}\right), \dots, A_2^{8}\left(y_{38}, z_{38}\right), B_2^{8}\left(y_{48}, z_{48}\right), \\C_1^{1}\left(y_{51}, z_{51}\right), D_1^{1}\left(y_{61}, z_{61}\right), C_1^{2}\left(y_{52}, z_{52}\right), D_1^{2}\left(y_{62}, z_{62}\right), \dots, C_1^{8}\left(y_{58}, z_{58}\right), D_1^{8}\left(y_{68}, z_{68}\right), \\C_2^{1}\left(y_{71}, z_{71}\right), D_2^{1}\left(y_{81}, z_{81}\right), C_2^{2}\left(y_{72}, z_{72}\right), D_2^{2}\left(y_{82}, z_{82}\right), \dots, C_2^{8}\left(y_{78}, z_{78}\right), D_2^{8}\left(y_{88}, z_{88}\right),\end{bmatrix}

满足 A1n,A2n,D1n,D2n∈Dˉ,B1n,B2n,C1n,C2n∈D,n=1,2,…,8 A_1^{n}, A_2^{n}, D_1^{n}, D_2^{n} \in \bar{D}, B_1^{n}, B_2^{n}, C_1^{n}, C_2^{n} \in \boldsymbol{D}, n = 1, 2, \ldots, 8

最小化 δˉ=∑n=18(δCn2+δe3∗n4+δe1∗n4)/8 \bar{\delta}=\sum_{n=1}^{8}\left(\frac{\delta_{C}^{n}}{2}+\frac{\delta_{e_{3}^{*}}^{n}}{4}+\frac{\delta_{e_{1}^{*}}^{n}}{4}\right)/8 , (21)

其中 Dˉ \bar{D} 表示基于拓扑优化的优化区域边界，所有带状结构相对误差的平均值作为优化的目标函数。在这种情况下，目标曲面仍被离散化为具有 8 个带状结构的框架结构。

图 4c 和图 S3 提供了五个示例来说明该优化方法的实用性。图 4c 中所示的三个目标曲面的解析表达式可以写为

x4+y29+z225=1,x>0,(22) \frac{x}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{25}=1, x>0, \quad{(22)} {x(α,β)=0.5cos⁡(2β)+1.5cos⁡αsin⁡βy(α,β)=sin⁡αz(α,β)=0.5cos⁡(2β)+1.5cos⁡αcos⁡β,α∈[−π2,π2],β∈[0,π](23) \begin{cases}x(\alpha,\beta)=\sqrt{0.5\cos(2\beta)+1.5}\cos\alpha\sin\beta\\y(\alpha,\beta)=\sin\alpha\\z(\alpha,\beta)=\sqrt{0.5\cos(2\beta)+1.5}\cos\alpha\cos\beta\end{cases},\alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\beta\in[0,\pi] \quad{(23)}

和

x2+y2−34[(z−1.5)39−(z−1.5)]2=0,x>0.(24) x^{2}+y^{2}-\frac{3}{4}\left[\frac{\left(z-1.5\right)^{3}}{9}-\left(z-1.5\right)\right]^{2}=0, x>0. \quad{(24)}

这三个具有非中心对称笼状形状的目标曲面都能很好地使用开发的拓扑优化方法很好地实现了目标曲面的逆向设计，如目标曲面与优化曲面及实验组装构型之间的良好一致性所示。此外，图 S4 提供了目标半椭球曲面在固定带状宽度情况下的逆向设计优化结果，以便与图 4c 第一行所示的减小带状宽度结果进行比较。该比较进一步证实，将离散化带状结构的宽度分布作为附加设计变量可以极大地提高精度。

3. 逆向设计以复现具有更一般形状的三维曲面

本节中，我们采用所提出的方法来实现具有更一般形状的期望三维曲面的逆向设计。以拱形曲面为例，图 5a 展示了一种受 CT 扫描启发的通用离散化策略，用于此类目标曲面，以通过拓扑优化解决逆向设计问题。目标曲面与 YZ 平面（图 5a 中用虚线表示）的交线被视为离散化带状结构的端点。在此，目标曲面可被离散化为一个带状框架结构，该结构包含一条额外的带状结构（用红色表示），用于连接每个离散化带状结构的中心点。与笼状曲面的逆向设计类似，具有一般三维形状的目标曲面的逆向设计可以通过优化切割线，对整个带状框架结构进行拓扑优化来实现。

图 5b 展示了拱形曲面逆向设计的结果，其解析表达式由下式给出：

x2−(1−y2+0.5)2+z2=0,x>0.(25) x^{2}-\left(\sqrt{1-y^{2}}+0.5\right)^{2}+z^{2}=0, x>0. \quad{(25)}

这里，采用了七个包含70个采样点的离散化带状组件来重构拱形曲面，所得结构与目标曲面吻合良好，这通过所有离散化带状组件的质心线坐标和横截面扭转角的平均相对误差得到了证明。

图6提供了四个示例，说明了所提方法对于一般目标曲面逆向设计的强大能力，这些曲面可以通过以下解析式描述：

{x(α,β)=(cos⁡αsin⁡β+0.3sin⁡β)[(2β−π)2/π2+1]y(α,β)=sin⁡α[(2β−π)2/π2+1]z(α,β)=(cos⁡αcos⁡β+0.3cos⁡β)[(2β−π)2/π2+1],α∈[−π3,π3],β∈[0,π],(26) \left\{\begin{array}{l}{{x(\alpha,\beta)=(\cos\alpha\sin\beta+0.3\sin\beta)\left[(2\beta-\pi)^{2}/\pi^{2}+1\right]}}\\{{y(\alpha,\beta)=\sin\alpha\left[(2\beta-\pi)^{2}/\pi^{2}+1\right]}}\\{{z(\alpha,\beta)=(\cos\alpha\cos\beta+0.3\cos\beta)\left[(2\beta-\pi)^{2}/\pi^{2}+1\right]}}\\\end{array},\alpha\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right],\beta\in[0,\pi],\right.\quad(26) {x(α,β)=cos⁡αsin⁡βy(α,β)=sin⁡α+0.6sin⁡β−0.3,α∈[−π4,π6],β∈[π6,5π6],z(α,β)=cos⁡αcos⁡β(27) \left\{\begin{array}{l}{{x(\alpha,\beta)=\cos\alpha\sin\beta}}\\{{y(\alpha,\beta)=\sin\alpha+0.6\sin\beta-0.3,\alpha\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6}\right],\beta\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right],}}\\{{z(\alpha,\beta)=\cos\alpha\cos\beta}}\\\end{array}\right. \quad{(27)} {x+2.1y2+0.06yz+0.9z2−2.35y4+1.6y3z−1.03y2z2=0.9,y∈[−0.5,0.5],z∈[−1.4,1.4](28) \left\{\begin{array}{l}{{x+2.1y^{2}+0.06yz+0.9z^{2}-2.35y^{4}+1.6y^{3}z-1.03y^{2}z^{2}=0.9,}}\\{{y\in[-0.5,0.5],z\in[-1.4,1.4]}}\\\end{array}\right. \quad{(28)}

和

{x(α,t)=3(3−2t)8(1−sin⁡α)y(α,t)=2t−38(1+3sin⁡α),α∈[π2,5π2],t∈[0,1].z(α,t)=cos⁡α(t−1.5)(29) \left\{\begin{array}{l}{{x(\alpha,t)=\frac{\sqrt{3}(3-2t)}{8}(1-\sin\alpha)}}\\{{y(\alpha,t)=\frac{2t-3}{8}(1+3\sin\alpha),\alpha\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right],t\in[0,1].}}\\{{z(\alpha,t)=\cos\alpha(t-1.5)}}\\\end{array}\right. \quad{(29)}

除最后一个示例在离散化中仅采用4个带状组件外，其他三个目标表面均被离散化为7个带状组件。在所有示例中，优化后的组装结构的有限元分析结果和光学图像与目标表面总是非常相似，这由组装构型与目标构型之间较低（<6%）的相对误差所证明。

4. 结论

本文系统地研究了通过屈曲引导组装进行三维表面结构的逆向设计。通过将目标三维表面离散化为带状框架结构，开发了一种基于拓扑优化的逆向设计方法，以寻求目标表面的最优离散化策略。通过在优化中考虑离散化带状的空间变化宽度，逆向设计的精度得到显著提高，并且可以复现具有一般三维形状的目标表面。对十余个复杂三维曲面的演示，以及目标构型与优化构型之间的比较，表明所开发方法具有普遍适用性。

图1：中心对称3D表面的逆向设计。

图1：中心对称3D表面的逆向设计。 (a) 非可展中心对称表面离散化的示意图，(b) 其中一条离散带拓扑优化的示意图，以及 (c) 用于分析在预定载荷下通过压缩屈曲组装的带状结构的力学模型。(d) 在基底中释放预拉伸后，将2D前驱体转化为所需3D表面构型的制造工艺。

图2：中心对称3D表面逆向设计的结果。

图2：中心对称3D表面逆向设计的结果。 (a) 基于自适应遗传算法的半球目标表面逆向设计的优化历程。GiG_i 指的是优化后的2D前驱体构型以及直到第i代时，其中一条离散带对应的组装结构从两个视角的视图。(b) 优化过程中组装的带状框架构型与目标半球面的比较，以及实验中的光学图像。(c) 半球面坐标分量分布的优化和实验结果，与目标构型进行比较。(d) 具有抛物线形和正弦形母线的中心对称3D表面的逆向设计结果。目标表面和优化后的FEA构型中的颜色分别表示沿X轴的坐标值大小和面外位移 U1U_1。

图3：引入带宽度作为额外变量的逆向设计

图3：引入带宽度作为额外变量的逆向设计 (a) 从中心对称目标表面离散出的带宽度优化示意图。(b) 消除因带宽度减小导致组装带之间间隙的三明治设计示意图。(c) 鼓形目标表面固定宽度和可变宽度逆向设计优化历史的对比。(d) 鼓形目标表面可变宽度逆向设计结果，包括加宽和整体三明治结构配置以及基于有限元分析（FEA）和实验的组装配置。目标表面的颜色和优化的FEA配置分别代表沿X轴的坐标值大小和面外位移 U1 U_{1} 。

图4：一般笼状3D表面的逆向设计

图4：一般笼状3D表面的逆向设计 (a) 一般笼状表面示例示意图。(b) 从目标表面离散出的带框架结构的优化示意图。(c) 三个一般笼状3D表面逆向设计的优化和实验结果。目标表面的颜色和优化的FEA配置分别代表沿X轴的坐标值大小和面外位移 U1 U_{1} 。

图5：具有更通用形状的3D表面的逆向设计。

图5：具有更通用形状的3D表面的逆向设计。(a) 一般不可展表面离散化示意图。(b) 针对宽度优化的拱形目标表面的逆向设计结果，包括采用夹层结构的加宽及整体构型，以及基于有限元分析和实验的组装构型。目标表面和优化后的有限元分析构型中的颜色分别代表沿X轴的坐标值大小和面外位移 U1 U_{1} 。

图6：一般3D表面逆向设计的优化与实验结果。

图6：一般3D表面逆向设计的优化与实验结果。 目标表面和优化后的有限元分析构型中的颜色分别代表沿X轴的坐标值大小和面外位移 U1 U_{1} 。